Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces

Rubenthaler, Hubert

doi:10.1016/j.crma.2009.10.015

Group Theory

Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces
[Algèbres d'opérateurs différentiels invariants associés à certains espaces sans multiplicités]

Présenté par : Michel Duflo

Rubenthaler, Hubert ¹

¹ Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université de Strasbourg et CNRS, 7, rue René-Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 23-24, pp. 1343-1346.

Résumé
Abstract

Soit G un groupe algébrique réductif connexe et soit $G^{'} = [G, G]$ son groupe dérivé. Soit $(G, V)$ un espace sans multiplicités ayant un quotient unidimensionel (voir la définition ci-dessous). Nous montrons que l'algèbre $D {(V)}^{G^{'}}$ des opérateurs différentiels à coefficients poynomiaux $G^{'}$ -invariants sur V, est isomorphe à un quotient d'une algèbre de Smith sur son centre. Sur $C$ cette classe d'algèbres, avait été introduite par S.P. Smith (1990) comme une classe d'algèbres semblables à $U ({sl}_{2})$ . Notre résultat généralise le cas de la représentation de Weil, où l'algèbre associative engendrée par $Q (x)$ et $Q (\partial)$ (Q étant une forme quadratique non dégénérée sur V), est un quotient de $U ({sl}_{2})$ . D'autres résultats de structure sont obtenus lorsque $(G, V)$ est un espace préhomogène parabolique commutatif régulier.

Let G be a connected reductive algebraic group and let $G^{'} = [G, G]$ be its derived subgroup. Let $(G, V)$ be a multiplicity free representation with a one-dimensional quotient (see definition below). We prove that the algebra $D {(V)}^{G^{'}}$ of $G^{'}$ -invariant differential operators with polynomial coefficients on V, is a quotient of a so-called Smith algebra over its center. Over $C$ this class of algebras was introduced by S.P. Smith (1990) as a class of algebras similar to $U ({sl}_{2})$ . Our result generalizes the case of the Weil representation, where the associative algebra generated by $Q (x)$ and $Q (\partial)$ (Q being a non-degenerate quadratic form on V) is a quotient of $U ({sl}_{2})$ . Other structure results are obtained when $(G, V)$ is a regular prehomogeneous vector space of commutative parabolic type.

Reçu le : 2009-03-10
Accepté le : 2009-10-14
Publié le : 2009-10-30

DOI : 10.1016/j.crma.2009.10.015

Affiliations des auteurs :

Rubenthaler, Hubert ¹

¹ Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université de Strasbourg et CNRS, 7, rue René-Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France

@article{CRMATH_2009__347_23-24_1343_0,
     author = {Rubenthaler, Hubert},
     title = {Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1343--1346},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {23-24},
     year = {2009},
     doi = {10.1016/j.crma.2009.10.015},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.015/}
}

TY  - JOUR
AU  - Rubenthaler, Hubert
TI  - Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2009
SP  - 1343
EP  - 1346
VL  - 347
IS  - 23-24
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.015/
DO  - 10.1016/j.crma.2009.10.015
LA  - en
ID  - CRMATH_2009__347_23-24_1343_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Rubenthaler, Hubert
%T Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2009
%P 1343-1346
%V 347
%N 23-24
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.015/
%R 10.1016/j.crma.2009.10.015
%G en
%F CRMATH_2009__347_23-24_1343_0

Rubenthaler, Hubert. Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 23-24, pp. 1343-1346. doi : 10.1016/j.crma.2009.10.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.015/

Bibliographie
Cité par

[1] Benson, C.; Ratcliff, G. On multiplicity free actions, Representations of Real and p-Adic Groups, Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap., vol. 2, University Press, World Scientific, Singapore, 2004, pp. 221-304

[2] Howe, R.; Umeda, T. The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions, Math. Ann., Volume 290 (1991) no. 3, pp. 565-619

[3] Igusa, J.I. On Lie algebras generated by two differential operators, Manifolds and Lie Groups, Progr. Math., vol. 14, Birkhäuser, Boston, Mass., 1981, pp. 187-195

[4] Knop, F. Some remarks on multiplicity free spaces (Broer, A.; Daigneault, A.; Sabidussi, G., eds.), Representation Theory and Algebraic Geometry, Nato ASI Series C, vol. 514, Kluwer, Dordrecht, 1998, pp. 301-317

[5] Leahy, A. A classification of multiplicity free representations, J. Lie Theory, Volume 8 (1998), pp. 367-391

[6] Levasseur, T. Radial components, prehomogeneous vector spaces, and rational Cherednik algebras, Int. Math. Res. Not. IMRN, Volume 3 (2009), pp. 462-511

[7] Nomura, T. Algebraically independent generators of invariant differential operators on a symmetric cone, J. Reine Angew. Math., Volume 400 (1989), pp. 122-133

[8] Rubenthaler, H. Invariant differential operators and an infinite dimensional Howe-type correspondence, part I: Structure of the associated algebras of differential operators | arXiv

[9] Smith, S.P. A class of algebras similar to the enveloping algebra of $sl (2)$ , Trans. Amer. Math. Soc., Volume 322 (1990) no. 1, pp. 285-314

[10] Yan, Z. Invariant differential operators and holomorphic function spaces, J. Lie Theory, Volume 10 (2000) no. 1, pp. 1-31

Cité par Sources :