On s'intéresse dans cette Note à l'équation de Fisher–KPP dans l'espace entier, où le laplacien est remplacé par le générateur d'un semi-groupe de Feller à noyau lentement décroissant, un exemple important étant le laplacien fractionnaire. A la différence de l'équation de Fisher–KPP classique, où l'état stable envahit l'état instable à une vitesse constante en temps, nous montrons que la vitesse d'invasion est exponentielle en temps. Ces résultats apportent une justification mathématiquement rigoureuse à de nombreuses heuristiques sur ce modèle.
We study in this Note the Fisher–KPP equation where the Laplacian is replaced by the generator of a Feller semigroup with slowly decaying kernel, an important example being the fractional Laplacian. Contrary to what happens in the standard Laplacian case, where the stable state invades the unstable one at constant speed, we prove here that invasion holds at an exponential in time velocity. These results provide a mathematically rigorous justification of numerous heuristics about this model.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2009__347_23-24_1361_0,
author = {Cabr\'e, Xavier and Roquejoffre, Jean-Michel},
title = {Propagation de fronts dans les \'equations de {Fisher{\textendash}KPP} avec diffusion fractionnaire},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {1361--1366},
publisher = {Elsevier},
volume = {347},
number = {23-24},
year = {2009},
doi = {10.1016/j.crma.2009.10.012},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.012/}
}
TY - JOUR AU - Cabré, Xavier AU - Roquejoffre, Jean-Michel TI - Propagation de fronts dans les équations de Fisher–KPP avec diffusion fractionnaire JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2009 SP - 1361 EP - 1366 VL - 347 IS - 23-24 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.012/ DO - 10.1016/j.crma.2009.10.012 LA - fr ID - CRMATH_2009__347_23-24_1361_0 ER -
%0 Journal Article %A Cabré, Xavier %A Roquejoffre, Jean-Michel %T Propagation de fronts dans les équations de Fisher–KPP avec diffusion fractionnaire %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2009 %P 1361-1366 %V 347 %N 23-24 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.012/ %R 10.1016/j.crma.2009.10.012 %G fr %F CRMATH_2009__347_23-24_1361_0
Cabré, Xavier; Roquejoffre, Jean-Michel. Propagation de fronts dans les équations de Fisher–KPP avec diffusion fractionnaire. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 23-24, pp. 1361-1366. doi : 10.1016/j.crma.2009.10.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.10.012/
[1] Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics, Adv. Math., Volume 30 (1978), pp. 33-76
[2] H. Berestycki, J.-M. Roquejoffre, L. Rossi, en préparation
[3] Semi-groupes de Feller sur une variété à bord compacte et problèmes aux limites intégro-différentiels du second ordre donnant lieu au principe du maximum, Ann. Inst. Fourier, Volume 18 (1968), pp. 369-521
[4] X. Cabré, J.-M. Roquejoffre, The influence of fractional diffusion in Fisher–KPP equations, en préparation
[5] Fourier Analysis, SFO Graduate Studies in Mathematics, vol. 29, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001
[6] F. Hamel, L. Roques, Fast propagation for KPP equations with slowly decaying initial conditions, en préparation
[7] Etude de l'équation de diffusion avec accroissement de la quantité de matière, et son application à un problème biologique, Bjul. Moskowskogo Gos. Univ., Volume 17 (1937), pp. 1-26
[8] Front propagation in reactive systems with anomalous diffusion, Phys. D, Volume 185 (2003), pp. 175-195
Cité par Sources :
