À l'aide des opérateurs différentiels et aux différences de Dunkl sur , on construit une famille d'actions de l'algèbre de Lie dépendant de deux paramètres k et a. Ici k est une fonction de multiplicité associée aux opérateurs de Dunkl, et un paramètre d'interpolation entre la représentation de Weil et la représentation minimale du groupe conforme. On montre que s'intègre à une représentation unitaire du revêtement universel du groupe , et se prolonge à un semi-groupe holomorphe . Notre semi-groupe généralise le semi-groupe de Hermite, étudié par R. Howe (, ), ainsi que le semi-groupe de Laguerre dû à T. Kobayashi et G. Mano (, ). La valeur au bord de notre semi-groupe donne une transformation de Fourier -généralisée qui correspond à la transformation de Dunkl pour , et à une nouvelle transformation pour qui généralise la transformation de Hankel classique.
We construct a two-parameter family of actions of the Lie algebra by differential-difference operators on . Here, k is a multiplicity-function for the Dunkl operators, and arises from the interpolation of the Weil representation and the minimal unitary representation of the conformal group. The action lifts to a unitary representation of the universal covering of , and can even be extended to a holomorphic semigroup . Our semigroup generalizes the Hermite semigroup studied by R. Howe (, ) and the Laguerre semigroup by T. Kobayashi and G. Mano (, ). The boundary value of our semigroup provides us with -generalized Fourier transforms , which includes the Dunkl transform () and a new unitary operator () as a Dunkl-type generalization of the classical Hankel transform.
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Ben Saïd, Salem; Kobayashi, Toshiyuki; Ørsted, Bent. Generalized Fourier transforms $ {\mathcal{F}}_{k,a}$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 19-20, pp. 1119-1124. doi : 10.1016/j.crma.2009.07.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.07.015/
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