[Cadre mathématique pour un modèle de mouvement de foules]
Dans un précédent papier, nous avons proposé un modèle de mouvements de foule ainsi qu'un algorithme numérique, ayant pour objectif de gérer des configurations très denses. Ce modèle repose sur deux principes. D'une part, on définit une vitesse souhaitée qui correspond à la vitesse que les individus aimeraient avoir en l'absence des autres. D'autre part, la vitesse réelle est calculée comme la projection de la vitesse souhaitée sur l'ensemble des vitesses admissibles (vitesses qui respectent la contrainte de non-chevauchement). Nous décrivons ici le cadre mathématique sous-jacent et expliquons comment certains résultats récents de J.F. Edmond et L. Thibault sur les processus de rafle dans le cadre prox-régulier peuvent être adaptés pour démontrer le caractère bien posé du problème et la convergence du schéma numérique associé.
In a previous paper, we proposed a model for crowd motion, together with a numerical algorithm, especially designed to handle highly packed situations. This model rests on two principles: We first define a spontaneous velocity which corresponds to the velocity each individual would like to have in the absence of other people; The actual velocity is then computed as the projection of the spontaneous velocity onto the set of admissible velocities (i.e. velocities which do not violate the non-overlapping constraint). We describe here the underlying mathematical framework, and we explain how recent results by J.F. Edmond and L. Thibault on the sweeping process in the prox-regular case can be adapted to handle this situation, in terms of well-posedness as well as convergence of the numerical algorithm.
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TY - JOUR AU - Maury, Bertrand AU - Venel, Juliette TI - A mathematical framework for a crowd motion model JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2008 SP - 1245 EP - 1250 VL - 346 IS - 23-24 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.10.014/ DO - 10.1016/j.crma.2008.10.014 LA - en ID - CRMATH_2008__346_23-24_1245_0 ER -
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Maury, Bertrand; Venel, Juliette. A mathematical framework for a crowd motion model. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 23-24, pp. 1245-1250. doi : 10.1016/j.crma.2008.10.014. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.10.014/
[1] Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland, 1973
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[3] Relaxation of an optimal control problem involving a perturbed sweeping process, Math. Program. Ser. B, Volume 104 (2005) no. 2–3, pp. 347-373
[4] BV solutions of nonconvex sweeping process differential inclusion with perturbation, J. Differential Equations, Volume 226 (2006) no. 1, pp. 135-179
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[8] J. Venel, Integrating strategies in numerical modelling of crowd motion, in: Pedestrian and Evacuation Dynamics '08, Springer, in press
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