Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un

Cavalier, Vincent; Lehmann, Daniel

doi:10.1016/j.crma.2008.10.011

Systèmes dynamiques/Géométrie analytique

Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un

Présenté par : Étienne Ghys

Cavalier, Vincent ¹ ; Lehmann, Daniel ¹

¹ CNRS UMR 5030, Laboratoire I3M, Université de Montpellier II, case 051, 34095 Montpellier cedex 5, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 23-24, pp. 1283-1288.

Résumé
Abstract

A tout d-tissu de codimension un sur une variété holomorphe M de dimension n, ( $d > n$ ), nous associons un sous-ensemble analytique S de M, qui – génériquement – a une dimension au plus égale à $n - 1$ : on dit alors que le tissu est régulier.

Notant $c (n, h)$ la dimension de l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré h à n variables, nous montrons que le rang d'un tissu régulier a une borne supérieure $π^{'} (n, d)$ égale à 0 pour $d < c (n, 2)$ , et à $\sum_{h = 1}^{k_{0}} (d - c (n, h))$ pour $d ⩾ c (n, 2)$ , $k_{0}$ désignant l'entier tel que $c (n, k_{0}) ⩽ d < c (n, k_{0} + 1)$ . Cette borne est optimale pour les tissus réguliers. Elle est strictement inférieure à la borne $π (n, d)$ de Chern–Castelnuovo pour $n ⩾ 3$ .

En outre, si d est précisément égal à $c (n, k_{0})$ , nous définissons une connexion holomorphe sur un certain fibré vectoriel holomorphe $E$ de rang $π^{'} (n, d)$ au dessus de $M ∖ S$ , tel que l'espace vectoriel des germes de relation abélienne du tissu en un point de $M ∖ S$ soit isomorphe à l'espace vectoriel des germes, en ce point, de sections holomorphes de $E$ ayant une dérivée covariante nulle : la courbure de cette connexion, qui généralise la courbure de Blaschke–Dubourdieu–Pantazi–Hénaut, est alors l'obstruction à ce que le rang du tissu atteigne la valeur $π^{'} (n, d)$ . [Pour $n = 2$ , S est toujours vide de sorte que tout tissu est régulier, $π^{'} (2, d)$ est égal à $π (2, d)$ , et tout d peut s'écrire sous la forme $c (2, k_{0})$ : nous retrouvons les résultats de Pantazi (1938) et de Hénaut (2004).]

¹ To any d-web of codimension one on a holomorphic n-dimensional manifold M ( $d > n$ ), we associate an analytic subset S of M. We call regular the webs for which S has at most dimension $n - 1$ . This condition is generically satisfied.

Denoting by $c (n, h)$ the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h in n variables, we prove that the rank of a regular web has an upper-bound $π^{'} (n, d)$ equal to 0 for $d < c (n, 2)$ , and to $\sum_{h = 1}^{k_{0}} (d - c (n, h))$ for $d ⩾ c (n, 2)$ , $k_{0}$ denoting the integer such that $c (n, k_{0}) ⩽ d < c (n, k_{0} + 1)$ . This bound $π^{'} (n, d)$ is optimal for regular webs. For $n ⩾ 3$ , it is strictly smaller than the bound $π (n, d)$ of Chern–Castelnuovo.

Moreover, if d is precisely equal to $c (n, k_{0})$ , we define a holomorphic connection on some vector bundle $E$ of rank $π^{'} (n, d)$ above $M ∖ S$ , such that the vector space of germs of Abelian relation of the web at a point of $M ∖ S$ is isomorphic to the vector space of germs at that point of holomorphic sections of $E$ with vanishing covariant derivative: the curvature of this connection, which generalizes the curvature of Blaschke–Dubourdieu–Panzani–Hénaut, is then the obstruction for the rank of the web to reach the value $π^{'} (n, d)$ . [When $n = 2$ , S is always empty so that any web is regular, $π^{'} (2, d) = π (2, d)$ , any d may be written $c (2, k_{0})$ : we recover the results given in Pantazi (1938) and Hénaut (2004).]

Reçu le : 2008-06-04
Accepté le : 2008-10-13
Publié le : 2008-11-05

DOI : 10.1016/j.crma.2008.10.011

Affiliations des auteurs :

Cavalier, Vincent ¹ ; Lehmann, Daniel ¹

¹ CNRS UMR 5030, Laboratoire I3M, Université de Montpellier II, case 051, 34095 Montpellier cedex 5, France

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Cavalier, Vincent; Lehmann, Daniel. Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 23-24, pp. 1283-1288. doi : 10.1016/j.crma.2008.10.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.10.011/

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Cité par Sources :

^☆ Cet article est un résumé de [V. Cavalier, D. Lehmann, Regular holomorphic webs of codimension one, arXiv: math/0703596v1 [math. DS], 20/03/2007, [1]], sans démonstration.

^☆☆ Nous avons récemment modifié la terminologie, et appelons désormais “ordinaires” les tissus dits “réguliers” dans cette note.