Multiple polylogarithm values at roots of unity

Zhao, Jianqiang

doi:10.1016/j.crma.2008.09.011

Number Theory

Multiple polylogarithm values at roots of unity
[Valeurs de polylogarithmes multiples en des racines de l'unité]

Présenté par : Pierre Deligne

Zhao, Jianqiang ¹

¹ Department of Mathematics, Eckerd College, St. Petersburg, FL 33711, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 19-20, pp. 1029-1032.

Résumé
Abstract

Soient N un entier positif et $μ_{N}$ le groupe des racines N-ièmes de l'unité. Nous étudions les relations $Q$ -linéaires entre les valeurs de polylogarithmes multiples évalués en ces racines de l'unité. Nous montrons que les relations standard considérées par Racinet ne fournissent pas toutes les relations dans les cas suivants : (i) $N = 4$ , poids $w = 3$ ou 4, et (ii) $w = 2$ , $7 < N < 50$ , et N est une puissance de 2 ou 3, ou N a au moins deux facteurs premiers. Dans le cas (i), nous trouvons des (sans doute, toutes les) relations manquantes à l'aide de la symétrie octaédrale de $P^{1} - ({0, \infty} \cup μ_{4})$ . Utilisant le groupe fondamental motivique de $P^{1} - ({0, \infty} \cup μ_{N})$ , nous obtenons des résultats additionnels quand $N = p$ ou $N = p^{2}$ (p premier ⩾5).

For any positive integer N let $μ_{N}$ be the group of the Nth roots of unity. In this note we shall study the $Q$ -linear relations among the values of multiple polylogarithms evaluated at $μ_{N}$ . We show that the standard relations considered by Racinet do not provide all the possible relations in the following cases: (i) level $N = 4$ , weight $w = 3$ or 4, and (ii) $w = 2$ , $7 < N < 50$ , and N is a power of 2 or 3, or N has at least two prime factors. We further find some (presumably all) of the missing relations in (i) by using the octahedral symmetry of $P^{1} - ({0, \infty} \cup μ_{4})$ . We also prove some other results when $N = p$ or $N = p^{2}$ (p prime ⩾5) by using the motivic fundamental group of $P^{1} - ({0, \infty} \cup μ_{N})$ .

Reçu le : 2008-08-26
Accepté le : 2008-09-02
Publié le : 2008-10-01

DOI : 10.1016/j.crma.2008.09.011

Affiliations des auteurs :

Zhao, Jianqiang ¹

¹ Department of Mathematics, Eckerd College, St. Petersburg, FL 33711, USA

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Zhao, Jianqiang. Multiple polylogarithm values at roots of unity. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 19-20, pp. 1029-1032. doi : 10.1016/j.crma.2008.09.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.09.011/

Bibliographie
Cité par

[1] Borwein, J.; Lisonek, P.; Irvine, P. http://oldweb.cecm.sfu.ca/cgi-bin/EZFace/zetaform.cgi

[2] Bourbaki, N. Lie Groups and Lie Algebras, Chapters 1–3, Springer, 2004

[3] Deligne, P. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points, Galois Groups Over Q$ \mathbb{Q}$, Springer, 1989, pp. 79-297

[4] Deligne, P.; Goncharov, A. Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 38 (2005), pp. 1-56

[5] Goncharov, A. The dihedral Lie algebras and Galois symmetries of $π_{1}^{(l)} (P^{1} - ({0, \infty} \cup μ_{N}))$ , Duke Math. J., Volume 110 (2001), pp. 397-487

[6] Vollinga, J.; Weinzierl, S. Numerical evaluation of multiple polylogarithms, Comput. Phys. Commun., Volume 167 (2005), pp. 177-194

[7] Racinet, G. Doubles mélanges des polylogarithmes multiples aux racines de l'unité, Publ. Math. IHES, Volume 95 (2002), pp. 185-231

[8] Zhao, J. Standard relations of multiple polylogarithm values of at roots of unity (preprint:) | arXiv

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