Explicit reconstruction of a displacement field on a surface by means of its linearized change of metric and change of curvature tensors

Ciarlet, Philippe G.; Gratie, Liliana; Serpilli, Michele

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 19-20, pp. 1113-1117.

Soit ω un ouvert simplement connexe de ${\mathbb{R}}^2$ et soit $\mathit{\theta }:\omega \to {\mathbb{R}}^2$ une immersion régulière. Si deux champs $({\gamma }_{\alpha \beta })$ et $({\rho }_{\alpha \beta })$ de matrices symétriques d'ordre deux satisfont des conditions de compatibilité appropriées dans ω, alors $({\gamma }_{\alpha \beta })$ et $({\rho }_{\alpha \beta })$ sont les champs de tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure associés à un champ η de déplacements de la surface $\mathit{\theta }(\omega )$.

On montre ici que, si les champs $({\gamma }_{\alpha \beta })$ et $({\rho }_{\alpha \beta })$ sont réguliers, le vecteur déplacement $\mathit{\eta }(y)$ en tout point $\mathit{\theta }(y),y\in \omega$, de la surface $\mathit{\theta }(\omega )$ peut être calculé explicitement au moyen d'une “intégrale de Cesàro–Volterra” le long d'un chemin dans ω d'extrémité y, et dont l'intégrande est une fonction explicite des fonctions ${\gamma }_{\alpha \beta }$ et ${\rho }_{\alpha \beta }$ et de leurs dérivées covariantes.

Let ω be a simply-connected open subset in ${\mathbb{R}}^2$ and let $\mathit{\theta }:\omega \to {\mathbb{R}}^3$ be a smooth immersion. If two symmetric matrix fields $({\gamma }_{\alpha \beta })$ and $({\rho }_{\alpha \beta })$ of order two satisfy appropriate compatibility relations in ω, then $({\gamma }_{\alpha \beta })$ and $({\rho }_{\alpha \beta })$ are the linearized change of metric and change of curvature tensor fields corresponding to a displacement vector field η of the surface $\mathit{\theta }(\omega )$.

We show here that, when the fields $({\gamma }_{\alpha \beta })$ and $({\rho }_{\alpha \beta })$ are smooth, the displacement vector $\mathit{\eta }(y)$ at any point $\mathit{\theta }(y),y\in \omega$, of the surface $\mathit{\theta }(\omega )$ can be explicitly computed by means of a “Cesàro–Volterra path integral formula on a surface”, i.e., a path integral inside ω with endpoint y, and whose integrand is an explicit function of the functions ${\gamma }_{\alpha \beta }$ and ${\rho }_{\alpha \beta }$ and their covariant derivatives.

[1] Cesàro, E. Sulle formole del Volterra, fondamentali nella teoria delle distorsioni elastiche, Rend. Napoli, Volume 12 (1906), pp. 311-321

[2] Ciarlet, P.G. An Introduction to Differential Geometry with Applications to Elasticity, Springer-Verlag, 2005

[3] Ciarlet, P.G.; Gratie, L.; Mardare, C.; Shen, M. Saint Venant compatibility conditions on a surface – application to intrinsic shell theory, Math. Models Methods Appl. Sci., Volume 18 (2008), pp. 165-194

[4] P.G. Ciarlet, L. Gratie, M. Serpilli, Cesàro–Volterra path integral formula on a surface, Math. Models Methods Appl. Sci. (2009), in press

[5] P.G. Ciarlet, L. Gratie, M. Serpilli, On the Cesàro–Volterra path integral formula on a surface and its relation to the Saint Venant compatibility conditions, in preparation

[6] Ciarlet, P.G.; Mardare, C.; Shen, M. Saint Venant compatibility equations in curvilinear coordinates, Anal. Appl., Volume 5 (2007), pp. 231-251

[7] Gurtin, M.E. The linear theory of elasticity (Flügge, S.; Truesdell, C., eds.), Handbuch der Physik, vol. VIa/2, Springer-Verlag, 1972, pp. 1-295

[8] Volterra, V. Sur l'équilibre des corps élastiques multiplement connexes, Ann. Ecole Normale, Volume 24 (1907), pp. 401-517