no. 13-14
Number Theory
The structure of the set of numbers with the Lehmer property
[L'ensemble des entiers ayant la propriété de Lehmer]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Wójtowicz, Marek1 ; Skonieczna, Marta1
1 Instytut Matematyki, Uniwersytet Kazimierza Wielkiego, Pl. Weyssenhoffa 11, 85-072 Bydgoszcz, Poland
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 13-14, pp. 727-728.
est référencé par Appendix to the Note “The structure of the set of numbers with the Lehmer property”
[Appendice à l'article : « Structure de l'ensemble des entiers possèdant la propriété de Lehmer »]

Soit φ la fonction indicatrice d'Euler, et soient k,r des entiers fixés tels que k⩾1 et |r|⩾1. Un entier strictement positif n a la propriété de Lehmer s'il est composé et si φ(n) divise n−1. On donne une courte preuve du fait que l'ensemble L(k,r) – des nombres n possédant la propriété de Lehmer et qui vérifient la condition supplémentaire suivante φ(n)k≡r(modn) – est fini. Ceci est une extension d'un résultat obtenu récemment par Deaconescu.

Let φ be the Euler totient function, and let k,r be fixed integers with k⩾1 and |r|⩾1. A positive integer n has the Lehmer property if it is composite and φ(n) divides n−1. We give a short proof that the set L(k,r) – of numbers n with the Lehmer property that fulfil the extra condition φ(n)k≡r(modn) – is finite. This is an extension of a result obtained recently by Deaconescu.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.05.002
Wójtowicz, Marek 1 ; Skonieczna, Marta 1

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[1] Cohen, G.L.; Hagis, P. Jr. On the number of prime factors of n if φ(n)|n−1, Nieuw Arch. Wisk. (3), Volume 28 (1980), pp. 177-185

[2] Deaconescu, M. On the equation m−1=aφ(n), Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, Volume 6 (2006) (Paper A06)

[3] Grytczuk, A.; Wójtowicz, M. On a Lehmer problem concerning Euler's totient function, Proc. Japan Acad. Ser. A, Volume 79 (2003), pp. 136-138

[4] Hagis, P. Jr. On the equation M⋅φ(n)=n−1, Nieuw Arch. Wisk. (4), Volume 6 (1988), pp. 225-261

[5] Lehmer, D.H. On Euler's totient function, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 38 (1932), pp. 745-751

[6] Luca, F. Fibonacci numbers with the Lehmer property, Bull. Pol. Acad. Sci. Math., Volume 55 (2007), pp. 7-15

Cité par Sources :