No characterization of generators in $ {\ell }^{p}$ $ (1<p<2)$ by zero set of Fourier transform

Lev, Nir; Olevskii, Alexander

doi:10.1016/j.crma.2008.04.017

Harmonic Analysis/Mathematical Analysis

No characterization of generators in

ℓ^{p}

(1 < p < 2)

by zero set of Fourier transform
[Les générateurs de

ℓ^{p}

(1 < p < 2)

ne peuvent pas être caractérisés par une propriété de l'ensemble des zéros de leur transformées de Fourier]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Lev, Nir ¹ ; Olevskii, Alexander ¹

¹ School of Mathematical sciences, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 11-12, pp. 645-648.

Résumé
Abstract

Étant donné $1 < p < 2$ nous construisons deux fonctions continues sur le cercle, f et g, telles que :

(i) Elles ont le même ensemble de zéros ;

(ii) Leurs transformées de Fourier appartiennent à $ℓ^{p} (Z)$ ;

(iii) Les translatées de la transformée de Fourier de g engendrent $ℓ^{p}$ , mais non celles de la transformées de Fourier de f.

Un résultat analogue est valable pour $L^{p} (R)$ . Cela contraste avec les cas $p = 1$ ou 2, élucidés par Wiener.

Given $1 < p < 2$ we construct two continuous functions f and g on the circle, with the following properties:

(i) They have the same set of zeros;

(ii) The Fourier transforms $\hat{f}$ and $\hat{g}$ both belong to $ℓ^{p} (Z)$ ;

(iii) The translates of $\hat{g}$ span the whole $ℓ^{p}$ , but those of $\hat{f}$ do not.

A similar result is true for $L^{p} (R)$ . This should be contrasted with the Wiener theorems related to $p = 1, 2$ .

Reçu le : 2008-04-01
Accepté le : 2008-04-23
Publié le : 2008-05-22

DOI : 10.1016/j.crma.2008.04.017

Affiliations des auteurs :

Lev, Nir ¹ ; Olevskii, Alexander ¹

¹ School of Mathematical sciences, Tel-Aviv University, Tel-Aviv 69978, Israel

@article{CRMATH_2008__346_11-12_645_0,
     author = {Lev, Nir and Olevskii, Alexander},
     title = {No characterization of generators in $ {\ell }^{p}$ $ (1<p<2)$ by zero set of {Fourier} transform},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {645--648},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {11-12},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.04.017},
     language = {en},
     url = {https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.04.017/}
}

TY  - JOUR
AU  - Lev, Nir
AU  - Olevskii, Alexander
TI  - No characterization of generators in $ {\ell }^{p}$ $ (1
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 645
EP  - 648
VL  - 346
IS  - 11-12
PB  - Elsevier
UR  - https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.04.017/
DO  - 10.1016/j.crma.2008.04.017
LA  - en
ID  - CRMATH_2008__346_11-12_645_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Lev, Nir
%A Olevskii, Alexander
%T No characterization of generators in $ {\ell }^{p}$ $ (1
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 645-648
%V 346
%N 11-12
%I Elsevier
%U https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.04.017/
%R 10.1016/j.crma.2008.04.017
%G en
%F CRMATH_2008__346_11-12_645_0

Lev, Nir; Olevskii, Alexander. No characterization of generators in $ {\ell }^{p}$ $ (1

Bibliographie
Cité par

[1] Beurling, A. On a closure problem, Ark. Mat., Volume 1 (1951), pp. 301-303

[2] Herz, C.S. A note on the span of translations in $L^{p}$ , Proc. Amer. Math. Soc., Volume 8 (1957), pp. 724-727

[3] Kahane, J.-P.; Salem, R. Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Hermann, 1994

[4] Lev, N.; Olevskii, A. Piatetski–Shapiro phenomenon in the uniqueness problem, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 340 (2005), pp. 793-798

[5] Newman, D.J. The closure of translates in $l^{p}$ , Amer. J. Math., Volume 86 (1964), pp. 651-667

[6] Pollard, H. The closure of translations in $L^{p}$ , Proc. Amer. Math. Soc., Volume 2 (1951), pp. 100-104

[7] Wiener, N. The Fourier Integral and Certain of its Applications, Cambridge University Press, 1933 (Reprint, Dover Publications, 1959)

Cité par Sources :