Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo <i>p</i>, <i>p</i> premier

Perron, Bernard

doi:10.1016/j.crma.2008.04.015

Topologie différentielle

Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier

Présenté par : Étienne Ghys

Perron, Bernard ¹

¹ Université de Bourgogne, institut de mathématiques de Bourgogne, U.M.R. du C.N.R.S., U.F.R. sciences et techniques, 9, avenue Alain-Savary, B.P. 47 870, 21078 Dijon cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 11-12, pp. 667-670.

Résumé
Abstract

Soit $S (g, 1)$ une surface connexe, compacte, orientée, de genre g, avec une composante de bord et $Mod (g, 1)$ son groupe modulaire. Soit p un entier, ou bien égal à 0, ou bien premier ⩾2. On construit une p-filtration centrale de $Mod (g, 1)$ , notée ${M (k, p) : k \in N^{*} = N - {0}}$ , généralisant la filtration de Johnson (qui correspond à $p = 0$ ) telle que $M (1, p) = Mod (g, 1)$ , $M (k, p) / M (k + 1, p)$ $(k ⩾ 2)$ est un $Z / p Z$ -espace vectoriel de dimension finie et $M (2, p)$ est le groupe de Torelli modulo p (e.g. le sous-groupe de $Mod (g, 1)$ des homéomorphismes induisant l'identité sur $H_{1} (S (g, 1); Z / p Z))$ . On annonce les résultats suivants : le groupe de Torelli $(\mod p)$ est engendré par le groupe de Torelli usuel et les puissances p-ième des twists de Dehn. On détermine ensuite l'abélianisé du groupe de Torelli modp (à 2-torsion finie pres). Toute sphère d'homologie rationnelle Σ de dimension trois s'obtient en recollant deux corps d'anses par un élément du groupe de Torelli $(\mod p)$ , où p est un entier premier ⩾3 divisant $(n - 1)$ , n étant le cardinal de $H_{1} (Σ; Z)$ . On propose enfin un invariant conjectural de ces sphères d'homologie rationnelle.

Let $S (g, 1)$ be a connected, compact, oriented surface of genus g, with one boundary component and $Mod (g, 1)$ its mapping class group. Let p be an integer, either equal to 0, or a prime ⩾2. We construct a central p-filtration of $Mod (g, 1)$ , denoted ${M (k, p) : k \in N^{*} = N - {0}}$ , generalizing the Johnson filtration (which corresponds to $p = 0$ ) such that $M (1, g) = Mod (g, 1)$ , $M (k, p) M (k + 1, p)$ $(k ⩾ 2)$ is a finite dimensional $Z / p Z$ -vector space and $M (2, p)$ is the Torelli group $(\mod p)$ (e.g. the subgroup of $Mod (g, 1)$ of homeomorphisms which induce identity on $H_{1} (S (g, 1)$ ; $Z / p Z$ )). We announce the following results: the Torelli group $(\mod p)$ is generated by the usual Torelli group and the p-th powers of all Dehn twists. We compute the abelianization of the Torelli group $(\mod p)$ , up to finite 2-torsion. Any $Q$ -homology sphere $Σ^{3}$ is obtained by gluing two handlebodies by an element of the Torelli group $(\mod p)$ , for any prime $p ⩾ 3$ dividing $(n - 1)$ , where n is the cardinal of $H_{1} (Σ^{3}; Z)$ . Finally we propose a conjectural invariant for these $Q$ -homology spheres.

Reçu le : 2008-03-03
Accepté le : 2008-04-22
Publié le : 2008-05-21

DOI : 10.1016/j.crma.2008.04.015

Affiliations des auteurs :

Perron, Bernard ¹

¹ Université de Bourgogne, institut de mathématiques de Bourgogne, U.M.R. du C.N.R.S., U.F.R. sciences et techniques, 9, avenue Alain-Savary, B.P. 47 870, 21078 Dijon cedex, France

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Perron, Bernard. Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 11-12, pp. 667-670. doi : 10.1016/j.crma.2008.04.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.04.015/

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