On the exact controllability of a system of mixed order with essential spectrum

Ammar-Khodja, Farid; Geymonat, Giuseppe; Münch, Arnaud

doi:10.1016/j.crma.2008.04.009

Partial Differential Equations/Calculus of Variations

On the exact controllability of a system of mixed order with essential spectrum
[Sur la contrôlabilité exacte d'un système d'ordre mixte ayant un spectre essentiel]

Présenté par : Évariste Sanchez-Palencia

Ammar-Khodja, Farid ¹ ; Geymonat, Giuseppe ² ; Münch, Arnaud ¹

¹ Laboratoire de mathématiques, Université de Franche-Comté, UMR CNRS 6623, 25030 Besançon, France
² Laboratoire de mécanique et de génie civil, Université de Montpellier II, UMR CNRS 5508, 34095 Montpellier, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 11-12, pp. 629-634.

Résumé
Abstract

On s'intéresse à la contrôlabilité exacte frontière d'un système du type $y^{″} + A_{c} y = 0$ où $A_{c}$ est un opérateur dans l'espace H dont le spectre essentiel (non vide) est {0}, ce qui implique la non contrôlabilité exacte. On construit le contrôle HUM pour toute donnée initiale dans le sous-espace $H_{c}^{⊥} \times {\tilde{V}}_{0}^{⊥}$ de $H \times V^{'}$ . Les sous-espaces $H_{c}^{⊥}$ et ${\tilde{V}}_{0}^{⊥}$ sont engendrés par les vecteurs propres associés aux valeurs propres de $A_{c}$ satisfaisant la condition de séparation (Σ), propriété qui semble générale. Nous étudions également le comportement du contrôle lorsque c tend vers zéro.

We consider the exact boundary controllability problem for the system $y^{″} + A_{c} y = 0$ where $A_{c}$ is a self-adjoint operator in H whose (non empty) essential spectrum is {0}, which implies the non-exact controllability. We construct the HUM control for all initial condition in the subspace $H_{c}^{⊥} \times {\tilde{V}}_{0}^{⊥}$ of $H \times V^{'}$ . Each subspace $H_{c}^{⊥}$ and ${\tilde{V}}_{0}^{⊥}$ is spanned by the eigenvectors associated to the eigenvalues of $A_{c}$ satisfying the separation condition (Σ), and this property seems general. We also study the behavior of the control when c goes to zero.

Reçu le : 2008-04-02
Accepté le : 2008-04-11
Publié le : 2008-05-23

DOI : 10.1016/j.crma.2008.04.009

Affiliations des auteurs :

Ammar-Khodja, Farid ¹ ; Geymonat, Giuseppe ² ; Münch, Arnaud ¹

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Ammar-Khodja, Farid; Geymonat, Giuseppe; Münch, Arnaud. On the exact controllability of a system of mixed order with essential spectrum. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 11-12, pp. 629-634. doi : 10.1016/j.crma.2008.04.009. https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.04.009/

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Cité par

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Cité par Sources :