Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire

Bellieud, Michel

doi:10.1016/j.crma.2008.03.030

Problèmes mathématiques de la mécanique

Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Bellieud, Michel ¹

¹ UFR Science, Université de Perpignan, 52, avenue de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 13-14, pp. 807-812.

Résumé
Abstract

Soit Ω un ouvert borné de $R^{3}$ et soient $(ρ_{ε})$ , $(μ_{ε})$ , $(λ_{ε})$ des suites de fonctions périodiques sur Ω, de période ε, la fonction $ρ_{ε}$ prenant des valeurs très grandes sur un ensemble de boules de rayon $r_{ε}$ périodiquement distribuées de période ε ( $r_{ε} ≪ ε$ ). Nous étudions le comportement asymptotique ( $ε \to 0$ ) de l'équation :

{\begin{matrix} ρ_{ε} \frac{\partial^{2} u_{ε}}{\partial t^{2}} - div (σ_{ε} (u_{ε})) = ρ_{ε} f dans Ω \times (0, T) + conditions aux limites, \\ σ_{ε} (u_{ε}) = λ_{ε} tr (e (u_{ε})) I + 2 μ_{ε} e (u_{ε}), e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

et nous trouvons une loi effective non locale déduite d'un système couplé d'équations hyperboliques.

Let Ω be a bounded open set of $R^{3}$ and $(ρ_{ε})$ , $(μ_{ε})$ , $(λ_{ε})$ be sequences of ε-periodic functions on Ω, the function $ρ_{ε}$ taking very large values on a set of ε-periodically distributed balls of radius $r_{ε}$ ( $r_{ε} ≪ ε$ ). We study the asymptotic behaviour as $ε \to 0$ of the equation:

{\begin{matrix} ρ_{ε} \frac{\partial^{2} u_{ε}}{\partial t^{2}} - div (σ_{ε} (u_{ε})) = ρ_{ε} f in Ω \times (0, T) + boundary conditions, \\ σ_{ε} (u_{ε}) = λ_{ε} tr (e (u_{ε})) I + 2 μ_{ε} e (u_{ε}), e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

and finally we find a non-local effective equation deduced from a homogenized system of hyperbolic equations.

Reçu le : 2007-09-20
Accepté le : 2008-03-05
Publié le : 2008-06-24

DOI : 10.1016/j.crma.2008.03.030

Affiliations des auteurs :

Bellieud, Michel ¹

¹ UFR Science, Université de Perpignan, 52, avenue de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France

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Bellieud, Michel. Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 13-14, pp. 807-812. doi : 10.1016/j.crma.2008.03.030. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.03.030/

Bibliographie
Cité par

[1] Bellieud, M. Homogenisation of evolution problems for a composite medium with very small and heavy inclusions, Memory effects, ESAIM: COCV, Volume 11 (2005), pp. 266-284

[2] M. Bellieud, Vibrations of an elastic composite with very heavy inclusions, Memory effects, Preprint

[3] Cioranescu, D.; Murat, F. Un terme étrange venu d'ailleurs, I, Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications, Collège de France Seminar, Vol. II, Res. Notes in Math., vol. 60, Pitman, Boston, 1982, pp. 98-138

[4] Lur'e, A.I. Three-Dimensional Problems of the Theory of Elasticity, Interscience Publishers, New York, 1964

Cité par Sources :