Arithmetic coherent states and quantization theory

Unterberger, André

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 9-10, pp. 495-498.

Soit $f(z)=q^{\kappa }{\sum }_{m⩾0}{a}_m{q}^m$, avec $q={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi z}$ et $0<\kappa ⩽1$, une forme modulaire holomorphe f de poids réel $\tau +1,\tau >-1$, pour le groupe $\Gamma =\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ et pour un multiplicateur arbitraire ; soit ${\mathfrak{s}}_{\tau }$ la distribution sur la demi-droite telle que ${\mathfrak{s}}_{\tau }(t)={\sum }_{m⩾0}{a}_m\delta (t-m-\kappa )$. Soit ${\mathcal{D}}_{\tau +1}$ une représentation de la série discrète projective de $G=\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ (ou du prolongement de celle-ci dans le cas où $-1<\tau ⩽0$) réalisée, de la manière usuelle, dans un espace de Hilbert ${\mathcal{H}}_{\tau +1}$ de functions sur la demi-droite. Alors, l'ensemble des transformées ${\mathfrak{s}}_{\tau }^g={\mathcal{D}}_{\tau +1}(g^{\mathrm{-1}}){\mathfrak{s}}_{\tau }$, g décrivant un système de représentants de G mod Γ, peut être regardé comme une famille d'états cohérents pour la représentation considérée. L'analyse d'opérateurs appropriés dans ${\mathcal{H}}_{\tau +1}$ au moyen de leurs éléments de matrices diagonaux contre la famille de distributions ${\mathfrak{s}}_{\tau }^g$ fait apparaître, comme densité spectrale, la function $L(\overline{f}\otimes f,s)$. Le cas où $\tau =\pm \frac{1}{2}$ permet davantage et sera traité dans une Note suivante.

Let $f(z)=q^{\kappa }{\sum }_{m⩾0}{a}_m{q}^m$, with $q={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi z}$ and $0<\kappa ⩽1$, be a holomorphic modular form of real weight $\tau +1,\tau >-1$, for the group $\Gamma =\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ and for an arbitrary multiplier; let ${\mathfrak{s}}_{\tau }$ be the distribution on the half-line such that ${\mathfrak{s}}_{\tau }(t)={\sum }_{m⩾0}{a}_m\delta (t-m-\kappa )$. Let ${\mathcal{D}}_{\tau +1}$ be the usual realization, in a Hilbert space ${\mathcal{H}}_{\tau +1}$ of functions on the half–line, of a representation from the projective discrete series of $G=\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ (or the prolongation thereof in the case when $-1<\tau ⩽0$). Then, the set of transforms ${\mathfrak{s}}_{\tau }^g={\mathcal{D}}_{\tau +1}(g^{\mathrm{-1}}){\mathfrak{s}}_{\tau }$, g describing any set of representatives of G mod Γ, can be regarded as a set of coherent states for the representation under study. Analyzing appropriate operators in ${\mathcal{H}}_{\tau +1}$ by means of their diagonal matrix elements against the distributions ${\mathfrak{s}}_{\tau }^g$ brings to light, as a spectral-theoretic density, the convolution L-function $L(\overline{f}\otimes f,s)$. Much more can, and will, be said in a forecoming Note in the cases when $\tau =\pm \frac{1}{2}$.

[1] Iwaniec, H. Topics in Classical Automorphic Forms, Graduate Studies in Math., vol. 17, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997

[2] Selberg, A. On the estimation of Fourier coefficients of modular forms, Proc. Symp. Pure Math., Volume 8 (1963), pp. 1-15

[3] Shimura, G. Modular Forms of Half-Integral Weight, Lecture Notes in Math., vol. 320, Springer-Verlag, Berlin, 1973

[4] Unterberger, A. Automorphic Pseudodifferential Analysis and Higher-Level Weyl Calculi, Progress in Math., Birkhäuser, Basel, 2002