Théorème de renouvellement pour chaînes de Markov fortement ergodiques : application aux modèles itératifs lipschitziens

Guibourg, Denis

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 7-8, pp. 435-438.

Soient Q une probabilité de transition sur un espace mesurable E et (Xn)n∈N une chaîne de Markov stationnaire associée à Q. Soit ξ:E→R mesurable. Sous une condition de moment d'ordre 1+ε sur ξ et des hypothèses fonctionnelles sur l'action de Q et des noyaux de Fourier associés à (Q,ξ), sur un certain espace de Banach, nous démontrons un théorème de renouvellement pour (ξ(Xn))n∈N∗ en utilisant des techniques de transformée de Fourier et une méthode de perturbation d'opérateurs fondée sur un résultat de Keller–Liverani. Nous proposons une application aux modèles itératifs lipschitziens.

Let Q be a transition probability on a measurable space E. Let (Xn)n∈N be a stationary Markov chain associated to Q. Let ξ:E→R measurable. Under a moment condition of order 1+ε on ξ and under functional hypotheses on the action of Q and the Fourier kernels associated to (Q,ξ), on a certain Banach space, we establish a renewal theorem for (ξ(Xn))n∈N∗. We use Fourier techniques and a perturbation operator method based on a result by Keller–Liverani. An application to Lipschitz iterative models is given.

[1] Alsmeyer, G. On the Markov renewal theorem, Stochastic Process. Appl. (1994), Volume 50 (1994), pp. 37-56

[2] Babillot, M. Théorie du renouvellement pour des chaînes semi-markoviennes transientes, Ann. I. H. Poincaré, Sect. B, Volume 24 (1988) no. 4, pp. 507-569

[3] Breiman, L. Probability, Classic in Applied Mathematics, SIAM, 1993

[4] Dal'bo, F.; Peigné, M. Comportement asymptotique du nombre de géodésiques fermées sur la surface modulaire en courbure non constante. Études spectrales d'opérateurs de transfert et applications, Astérisque, Volume 238 (1996), pp. 111-177

[5] Feller, W. An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. II, John Wiley and Sons, New York, 1971

[6] D. Guibourg, L. Hervé, A renewal theorem for strongly ergodic Markov chains in dimension d⩾3 and in the centered case, in preparation

[7] Guivarc'h, Y.; Hardy, J. Théorèmes limites pour une classe de chaînes de Markov et applications aux difféomorphismes d'Anosov, Ann. Inst. H. Poincaré, Volume 24 (1988) no. 1, pp. 73-98

[8] Hennion, H. Sur un théorème spectral et son application aux noyaux lipchitziens, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 118 (1993) no. 2, pp. 627-634

[9] Hennion, H.; Hervé, L. Limit Theorems for Markov Chains and Stochastic Properties of Dynamical Systems by Quasi-compactness, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1766, Springer, 2001

[10] Hennion, H.; Hervé, L. Central limit theorems for iterated random Lipschitz mappings, Ann. Probab., Volume 32 (2004) no. 3A, pp. 1934-1984

[11] Hervé, L. Théorème local pour chaînes de Markov de probabilité de transition quasi-compacte. Applications aux chaînes V-géométriquement ergodiques et aux modèles itératifs, Ann. I. H. Poincaré Probab. Statist., Volume 41 (2005), pp. 179-196

[12] L. Hervé, Vitesse de convergence dans le théorème limite central pour chaînes de Markov fortement ergodiques, Ann. I.H. Poincaré (2008), in press

[13] L. Hervé, F. Pène, Nagaev method via Keller–Liverani theorem, 2008, submitted for publication, voir hal-00203408

[14] Keller, G.; Liverani, C. Stability of the spectrum for transfer operators, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume XXVIII (1999), pp. 141-152

[15] Kesten, H. Renewal theory for functionals of a Markov chain with general state space, Ann. Probab., Volume 2 (1974) no. 3