Théorème de renouvellement pour chaînes de Markov fortement ergodiques : application aux modèles itératifs lipschitziens

Guibourg, Denis

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 7-8, pp. 435-438.

Soient Q une probabilité de transition sur un espace mesurable E et ${(X_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ une chaîne de Markov stationnaire associée à Q. Soit $\xi :E\to \mathbb{R}$ mesurable. Sous une condition de moment d'ordre $1+\epsilon$ sur ξ et des hypothèses fonctionnelles sur l'action de Q et des noyaux de Fourier associés à $(Q,\xi )$, sur un certain espace de Banach, nous démontrons un théorème de renouvellement pour $(\xi {(X_n))}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ en utilisant des techniques de transformée de Fourier et une méthode de perturbation d'opérateurs fondée sur un résultat de Keller–Liverani. Nous proposons une application aux modèles itératifs lipschitziens.

Let Q be a transition probability on a measurable space E. Let ${(X_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ be a stationary Markov chain associated to Q. Let $\xi :E\to \mathbb{R}$ measurable. Under a moment condition of order $1+\epsilon$ on ξ and under functional hypotheses on the action of Q and the Fourier kernels associated to $(Q,\xi )$, on a certain Banach space, we establish a renewal theorem for $(\xi {(X_n))}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$. We use Fourier techniques and a perturbation operator method based on a result by Keller–Liverani. An application to Lipschitz iterative models is given.

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