The <i>A</i>-module structure induced by a Drinfeld <i>A</i>-module of rank 2 over a finite field

Mohamed-Ahmed, Mohamed-Saadbouh

doi:10.1016/j.crma.2008.01.012

Algebraic Geometry

The A-module structure induced by a Drinfeld A-module of rank 2 over a finite field
[La structure de A-module induite sur un A-module de Drinfeld de rang 2 sur un corps fini]

Présenté par : Gérard Laumon

Mohamed-Ahmed, Mohamed-Saadbouh ¹

¹ Département de mathématiques, Université du Maine, avenue Olivier-Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 5-6, pp. 305-308.

Résumé
Abstract

Soit $F_{q}$ un corps fini et $L / F_{q}$ une extension finie. Soit F le Frobenius de L ( $F : x \mapsto x^{# L}$ ) et $(P)$ la $F [T]$ -caractéristique de F. Soit m le degré de l'extension $L / F_{q} [T] / (P)$ . Il existe alors $c \in F_{q} [T]$ et $μ \in F_{q}$ tels que le polynôme caractéristique $P_{F}$ de F soit égal à $P_{F} (X) = X^{2} - c X + μ P^{m}$ . Notre résultat principal est un parfait analogue du théorème de Deuring pour les courbes elliptiques : soit $M = \frac{F_{q} [T]}{(i_{1})} \oplus \frac{F_{q} [T]}{(i_{2})}$ , où $i_{1}$ et $i_{2}$ sont deux polynômes de $F_{q} [T]$ tels que $i_{2} | i_{1}$ et $i_{2} | (c - 2)$ . Il existe alors un $F_{q} [T]$ -module de Drinfeld Φ ordinaire de rang 2 sur L tel que la structure du $F_{q} [T]$ -module fini $L^{Φ}$ induite par Φ sur L soit isomorphe à M.

Let $F_{q}$ be a finite field and let $L / F_{q}$ be a finite extension. Let F be the Frobenius of L ( $F : x \mapsto x^{# L}$ ) and let $(P)$ be the $F [T]$ -characteristic of F. Let m be the degree of the extension $L / F_{q} [T] / (P)$ . There exists then $c \in F_{q} [T]$ and $μ \in F_{q}$ such that the characteristic polynomial $P_{F}$ of F is equal to $P_{F} (X) = X^{2} - c X + μ P^{m}$ . Our main result is an analogue of Deuring's Theorem on elliptic curves: let $M = \frac{F_{q} [T]}{(i_{1})} \oplus \frac{F_{q} [T]}{(i_{2})}$ , where $i_{1}$ and $i_{2}$ are two polynomials of $F_{q} [T]$ such that $i_{2} | i_{1}$ and $i_{2} | (c - 2)$ , there exists an ordinary Drinfeld $F_{q} [T]$ -module Φ of rank 2 over L such that the structure of the finite $F_{q} [T]$ -module $L^{Φ}$ induced by Φ over L is isomorphic to M.

Reçu le : 2006-03-13
Accepté le : 2008-01-15
Publié le : 2008-02-12

DOI : 10.1016/j.crma.2008.01.012

Affiliations des auteurs :

Mohamed-Ahmed, Mohamed-Saadbouh ¹

¹ Département de mathématiques, Université du Maine, avenue Olivier-Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France

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Mohamed-Ahmed, Mohamed-Saadbouh. The A-module structure induced by a Drinfeld A-module of rank 2 over a finite field. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 5-6, pp. 305-308. doi : 10.1016/j.crma.2008.01.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.01.012/

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