[Sur le changement de temps multifractal]
Soit une fonction continue. Nous prouvons que pour toute une classe de fonctions continues Z ayant un comportement d'échelle homogène (en un sens que nous précisons), la fonction Z peut se décomposer en , où g est une fonction monofractale d'indice et f est un homéomorphisme croissant de . Ainsi, f étant un subordinateur en temps, Z s'interprète comme la fonction monofractale g en temps f. Nous expliquons pourquoi les conditions imposées à Z sont faibles, et avant tout naturelles.
Ce résultat permet de mieux comprendre les comportements locaux des fonctions continues. En effet, les variations locales de continuité sont essentiellement dûes aux variations de continuité de f, qui peut être vue comme l'intégrale d'une mesure borélienne. Ceci donne une importance prépondérante à l'analyse de régularité locale des mesures boréliennes par rapport à l'analyse des fonctions. Ce travail permet également de relier de façon satisfaisante les mesures auto-similaires aux fonctions auto-similaires via un changement de temps.
Let be a continuous function. We are interested in the existence of a decomposition of Z as , where is a monofractal function with exponent and is a time subordinator (i.e. f is the integral of a positive Borel measure supported by ). We prove that such a decomposition can be found for a large class of functions, and when the initial function Z is given, the monofractality exponent of the associated function g is uniquely determined. The assumptions made on Z are weak and rather natural.
This yields new insights in the understanding of multifractal behaviors of functions, giving an important role to the regularity analysis of Borel measures. This work also allows us to find a very interesting relationship between self-similar functions and self-similar measures.
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Publié le :
@article{CRMATH_2008__346_1-2_11_0,
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TY - JOUR AU - Seuret, Stéphane TI - On multifractal time subordination JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2008 SP - 11 EP - 16 VL - 346 IS - 1-2 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.11.019/ DO - 10.1016/j.crma.2007.11.019 LA - en ID - CRMATH_2008__346_1-2_11_0 ER -
Seuret, Stéphane. On multifractal time subordination. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 1-2, pp. 11-16. doi : 10.1016/j.crma.2007.11.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.11.019/
[1] The singularity spectrum of Lévy processes in multifractal time, Adv. Math., Volume 14 (2007) no. 1, pp. 437-468
[2] On the multifractal analysis of measures, J. Stat. Phys., Volume 66 (1992) no. 3–4, pp. 775-790
[3] Multifractal formalism for self-similar functions: Parts I and II, SIAM J. Math. Anal., Volume 28 (1997) no. 4, pp. 944-997
[4] Beyond Besov spaces: Part 1, J. Fourier Anal. Appl., Volume 10 (2004) no. 3, pp. 221-246
[5] B. Mandelbrot, A. Fischer, L. Calvet, A multifractal model of asset returns, Cowles Foundation Discussion Paper, 1997, #1164
[6] Multifractal processes (Doukhan; Oppenheim; Taqqu, eds.), Long Range Dependence: Theory and Applications, Birkhäuser, 2002, pp. 625-715
[7] S. Seuret, On multifractality and time subordination for continuous functions, Preprint, 2007
Cité par Sources :
