[ESDP en dimension infinie avec un bruit de Poisson.]
Dans cette Note nous analysons des équations stochastiques aux dérivées partielles en dimension infinie avec une diffusion décrite par une intégrale stochastique par rapport à une mesure aléatoire de Poisson compensée par la mesure d'intensité. Outre l'existence et l'unicité de la solution ‘mild’, notre principal intérêt concerne la régularité par rapport à la condition initiale. Le résultat principal est la différentiabilité au sens de Fréchet de la solution comme application de vers l'espace des processus prévisibles , , tels que où . La différentiabilité d'ordre deux au sens de Fréchet peut être obtenue de la même façon.
In this Note we investigate stochastic partial differential equations in infinite dimension driven by a compensated Poisson random measure. Apart from the existence and uniqueness of mild solutions our main interest is directed towards their regularity w.r.t. the initial datum. Our main result is the first order Fréchet differentiability of the mild solution as a mapping from to , the space of predictable p-integrable processes, where . Higher order Fréchet differentiability can be proved similarly. As a consequence we obtain gradient estimates in infinite dimensions for the corresponding resolvents.
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TY - JOUR AU - Knoche, Claudia TI - SPDEs in infinite dimension with Poisson noise JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2004 SP - 647 EP - 652 VL - 339 IS - 9 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.09.004/ DO - 10.1016/j.crma.2004.09.004 LA - en ID - CRMATH_2004__339_9_647_0 ER -
Knoche, Claudia. SPDEs in infinite dimension with Poisson noise. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 9, pp. 647-652. doi : 10.1016/j.crma.2004.09.004. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.09.004/
[1] Parabolic SPDEs driven by Poisson white noise, Stochastic Process. Appl., Volume 74 (1998), pp. 21-36
[2] Stochastic partial differential equations driven by Lévy space–time white noise, Random Operators Stochastic Equations, Volume 8 (2000), pp. 245-261
[3] Ergodicity for Infinite Dimensional Systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1996
[4] Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, North-Holland, Amsterdam, 1981
[5] C. Knoche, Stochastic integrals and stochastic differential equations with respect to compensated Poisson random measures in infinite dimensional Hilbert spaces, Preprint No. 03-06-119 des Forschungszentrums BiBoS (Bielefeld-Bonn-Stochastics), Universität Bielefeld, 2003
[6] C. Knoche, Mild solutions of SPDE's driven by Poisson noise in infinite dimensions and their dependence on initial datum, Doctor-degree thesis, Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, 2004, in preparation
[7] V. Mandrekar, B. Rüdiger, Existence and uniqueness of path wise solutions for stochastic integral equations driven by non Gaussian noise on separable Banach spaces, Preprint No. 61 des SFB 611, Fakultät für Mathematik, Universität Bonn, 2003
[8] The heat equation with Lévy noise, Stochastic Process. Appl., Volume 74 (1998), pp. 67-82
[9] Existence and uniqueness of the solution for stochastic equations on Banach spaces, Stochastic Stochastics Reports, Volume 55 (1995), pp. 167-193
[10] An introduction to stochastic partial differential equations, École d'Été de Probabilité de St. Flour XIV, Lecture Notes in Math., vol. 1180, Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. 266-439
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