no. 7
Probability Theory
On the multidimensional stochastic equation Yn+1=AnYn+Bn
[Sur l'équation vectorielle stochastique Yn+1=AnYn+Bn.]

Présenté par : Yves Meyer

de Saporta, Benoîte1 ; Guivarc'h, Yves1 ; Le Page, Emile2
1 IRMAR, université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
2 LMAM, université de Bretagne Sud, centre Yves Coppens, campus de Tohannic, BP 573, 56017 Vannes, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 7, pp. 499-502.

On étudie le comportement à l'infini de la queue de la solution stationnaire d'un processus auto-régressif linéaire multidimensionnel à coefficients aléatoires. On donne une vaste classe de coefficients multiplicatifs vérifiant une condition d'irréductibilité et de proximalité qui conduisent à un comportement de type queue polynomiale.

We study the behavior at infinity of the tail of the stationary solution of a multidimensional linear auto-regressive process with random coefficients. We exhibit an extended class of multiplicative coefficients satisfying a condition of irreducibility and proximality that yield to a heavy tail behavior.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.07.024
de Saporta, Benoîte 1 ; Guivarc'h, Yves 1 ; Le Page, Emile 2

1 IRMAR, université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
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[1] Brandt, A. The stochastic equation Yn+1=AnYn+Bn with stationary coefficients, Adv. Appl. Probab., Volume 18 (1986), pp. 211-220

[2] Furstenberg, H. Noncommuting random products, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 108 (1963), pp. 377-428

[3] Furstenberg, H. Boundary theory and stochastic processes on homogeneous spaces, Harmonic Analysis on Homogeneous Spaces, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXVI, American Mathematical Society, 1973, pp. 193-229

[4] Goldie, C.M. Implicit renewal theory and tails of solutions of random equations, Ann. Appl. Probab., Volume 1 (1991), pp. 26-166

[5] Goldsheid, I.Ya.; Guivarc'h, Y. Zariski closure and the dimension of the Gaussian law of the product of random matrices, Probab. Theory Related Fields, Volume 105 (1996), pp. 109-142

[6] Guivarc'h, Y.; Le Page, E. Simplicité de spectres de Lyapunov et propriété d'isolation spectrale pour une famille d'opérateurs de transfert sur l'espace projectif (Kaimanovitch, V., ed.), Random Walks and Geometry, Workshop Vienna 2001, De Gruyter, 2004, pp. 181-259

[7] Guivarc'h, Y.; Raugi, A. Products of random matrices: convergence theorems, Random matrices and their applications, Contemp. Math., Volume 50 (1986), pp. 31-54

[8] Kesten, H. Random difference equations and renewal theory for products of random matrices, Acta Math., Volume 131 (1973), pp. 207-248

[9] Kesten, H. Renewal theory for functionals of a Markov chain with general state space, Ann. Probab., Volume 2 (1974), pp. 355-386

[10] E. Le Page, Théorèmes de renouvellement pour les produits de matrices aléatoires. Equations aux différences aléatoires, Séminaires de probabilités de Rennes, 1983

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