L'utilisation d'une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement, dans le cadre d'une résolution par éléments finis, nécessite un traitement particulier des degrés de liberté communs à plus de deux sous-domaines. C'est le cas, par exemple, lorsqu'on utilise une méthode conforme d'éléments finis nodaux pour la résolution de l'équation de Laplace ou d'Helmholtz. Par commodité, de tels degrés de liberté seront appelés « points de jonction ». Nous développons ici une approche permettant un tel traitement. A la différence d'une méthode de décomposition de domaine au sens strict, celle-ci requiert un post-traitement, complétant chaque itération qui consiste en la résolution d'un système de la taille du nombre de points de jonction. Nous démontrons que l'algorithme ne peut pas s'arrêter de façon intempestive et qu'il converge.
The utilization of a non-overlapping domain decomposition method, in the framework of a resolution by finite elements, requires a particular treatment of the degrees of freedom shared by more than two subdomains. This is the case, for example, when solving a Laplace or Helmholtz equation by means of a conformal nodal finite element method. For convenience, such degrees of freedom will be called ‘cross-points’. We describe here an approach permitting such a treatment. In contrast to a domain decomposition method in the strict sense, our approach requires a post-processing completing each iteration, which consists of solving a system whose size is the number of cross-points. We prove that the algorithm cannot break down and that it converges.
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Bendali, Abderrahmane; Boubendir, Yassine. Méthode de décomposition de domaine et éléments finis nodaux pour la résolution de l'équation d'Helmholtz. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 3, pp. 229-234. doi : 10.1016/j.crma.2004.06.002. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.06.002/
[1] A. Bendali, Y. Boubendir, Non-overlaping domain decomposition method for nodal finite elements, en préparation
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