Geometry of generalized Einstein manifolds

Akbar-Zadeh, Hassan

doi:10.1016/j.crma.2004.05.002

Differential Geometry

Geometry of generalized Einstein manifolds
[Géométrie des espaces d'Einstein généralisés.]

Présenté par : Thierry Aubin

Akbar-Zadeh, Hassan ¹

¹ 36, Rue Miollis, 75015 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 2, pp. 125-130.

Résumé
Abstract

On établit une formule reliant le laplacien horizontal $\bar{Δ} φ$ d'une fonction φ sur le fibré W des vecteurs unitaires tangents à une variété finslérienne $(M, g)$ compacte sans bord, au carré d'un 2-tenseur symétrique et la courbure finslérienne. On en déduit, selon une certaine condition, une estimée pour la fonction $λ : \bar{Δ} φ = λ φ$ . Si $λ = n \cdot k$ où k est constante positive et M simplement connexe, alors M est homéomorphe à une n-sphère. Soit $F^{○} (g_{t})$ une déformation de $(M, g)$ préservant le volume de W. On prouve que les points critiques $g_{0} \in F^{○} (g_{t})$ de l'intégrale $I (g_{t})$ d'une certaine courbure scalaire finslérienne sur W, définissent un espace d'Einstein généralisé. On calcule les variations secondes au point critique $g_{0}$ d'abord dans le cas général, puis pour une déformation infinitésimale conforme et on montre que dans certains cas on a $I^{″} (g_{0}) ⩾ 0$ . Nous étudions aussi le cas où la courbure scalaire est constante non-positive.

A formula linking the horizontal Laplacian $\bar{Δ} φ$ of a function φ on the fibre bundle W of unitary tangent vectors to a Finslerian compact manifold without boundary $(M, g)$ , to the square of a symmetric 2-tensor and Finslerian curvature. From it an estimate, under a certain condition, is obtained for the function $λ : \bar{Δ} φ = λ φ$ . If $λ = n k$ where k is a positive constant and M simply connected, then M is homeomorphic to an n-sphere. Let $F^{○} (g_{t})$ be a deformation of $(M, g)$ preserving the volume of W. One proves that the critical points $g_{0} \in F^{○} (g_{t})$ of the integral $I (g_{t})$ of a certain Finslerian scalar curvature on W define a generalized Einstein manifold. One calculates the second variationals at the critical points first in the general case, then, for an infinitesimal conformal deformation and one shows that in certain cases one has $I^{″} (g_{0}) ⩾ 0$ . We also study the case when the scalar curvature is non-positive constant.

Reçu le : 2004-03-22
Accepté le : 2004-05-04
Publié le : 2004-07-15

DOI : 10.1016/j.crma.2004.05.002

Affiliations des auteurs :

Akbar-Zadeh, Hassan ¹

¹ 36, Rue Miollis, 75015 Paris, France

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Akbar-Zadeh, Hassan. Geometry of generalized Einstein manifolds. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 2, pp. 125-130. doi : 10.1016/j.crma.2004.05.002. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.05.002/

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