Geometry of generalized Einstein manifolds

Akbar-Zadeh, Hassan

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 2, pp. 125-130.

On établit une formule reliant le laplacien horizontal $\overline{\mathrm{\Delta }}\phi$ d'une fonction φ sur le fibré W des vecteurs unitaires tangents à une variété finslérienne $(M\text{,}g)$ compacte sans bord, au carré d'un 2-tenseur symétrique et la courbure finslérienne. On en déduit, selon une certaine condition, une estimée pour la fonction $\lambda \text{:}\overline{\mathrm{\Delta }}\phi =\lambda \phi$. Si $\lambda =n\cdot k$ où k est constante positive et M simplement connexe, alors M est homéomorphe à une n-sphère. Soit $F^{○}(g_t)$ une déformation de $(M\text{,}g)$ préservant le volume de W. On prouve que les points critiques $g_0\in F^{○}(g_t)$ de l'intégrale $I(g_t)$ d'une certaine courbure scalaire finslérienne sur W, définissent un espace d'Einstein généralisé. On calcule les variations secondes au point critique $g_0$ d'abord dans le cas général, puis pour une déformation infinitésimale conforme et on montre que dans certains cas on a $I^{″}(g_0)⩾0$. Nous étudions aussi le cas où la courbure scalaire est constante non-positive.

A formula linking the horizontal Laplacian $\overline{\mathrm{\Delta }}\phi$ of a function φ on the fibre bundle W of unitary tangent vectors to a Finslerian compact manifold without boundary $(M\text{,}g)$, to the square of a symmetric 2-tensor and Finslerian curvature. From it an estimate, under a certain condition, is obtained for the function $\lambda \text{:}\overline{\mathrm{\Delta }}\phi =\lambda \phi$. If $\lambda =nk$ where k is a positive constant and M simply connected, then M is homeomorphic to an n-sphere. Let $F^{○}(g_t)$ be a deformation of $(M\text{,}g)$ preserving the volume of W. One proves that the critical points $g_0\in F^{○}(g_t)$ of the integral $I(g_t)$ of a certain Finslerian scalar curvature on W define a generalized Einstein manifold. One calculates the second variationals at the critical points first in the general case, then, for an infinitesimal conformal deformation and one shows that in certain cases one has $I^{″}(g_0)⩾0$. We also study the case when the scalar curvature is non-positive constant.

[1] Akbar-Zadeh, H. Les Espaces de Finsler et certaines de leurs généralisations, Ann. Ec. Norm. Sup. 3^e Série, Volume 80 (1963), pp. 1-79

[2] Akbar-Zadeh, H. Transformations infinitésimales conformes des variétés finsleriennes compactes, Ann. Polon. Math., Volume XXXVI (1979), pp. 213-229

[3] Akbar-Zadeh, H. Champ de vecteurs projectifs sur le fibré unitaire, J. Math. Pures Appl., Volume 65 (1986), pp. 47-79

[4] Akbar-Zadeh, H. Generalized Einstein manifolds, J. Geom. Phys., Volume 17 (1995), pp. 342-380

[5] L. Berwald, Parallelübertragung. In allgemeinen Räumen (Atti congresso intern. Matem. Bologna IV (1928) 263–270)

[6] Cartan, E. Sur les espaces de Finsler, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 196 (1933), pp. 582-586

[7] Cartan, E. Les espaces de Finsler, Hermann, Paris, 1934

[8] Cartan, E. Œuvres Complètes. Partie III, vol. 2. Géometrie Différentielle, Gauthier-Villars, 1955 (p. 1393)

[9] Hilbert, D. Die Grundlagen der Physik, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen (1915), pp. 395-407

[10] Koiso, N. On the second derivation of the total scalar curvature, Osaka J. Math., Volume 16 (1979), pp. 413-421

[11] Lichnérowicz, A. Géométrie des groupes de Transformations, Dunod, Paris, 1958

[12] Muto, Y. On Einstein metrics, J. Differential Geom., Volume 9 (1974), pp. 521-530

[13] Obata, M. Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphere, J. Math. Soc. Japan, Volume 4 (1962), pp. 333-340