no. 2
Théorie des nombres
Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques

Présenté par : Christophe Soulé

Derbal, Abdallah1  ; Smati, Abdelhakim2
1 Département de mathématiques, École normale supérieure, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie
2 Laco, UMR-CNRS 6090, université de Limoges, 123, avenue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 2, pp. 87-90.

Soit dk,ℓ(n) la fonction nombre des diviseurs de l'entier naturel n⩾1, dans les progressions arithmétiques {ℓ+mk}, avec 1⩽ℓ⩽k et ℓ,k premiers entre-eux, et soit F(n;k,ℓ) définie par :

F(n;k,ℓ)= ln d k,ℓ (n) ln (ϕ(k) ln n) ln 2 ln n.
Dans cette Note, nous étudions et donnons la structure des nombres dk,ℓ-hautement composés supérieurs qui généralisent ceux définis par S. Ramanujan. Nous prouvons que le maximum absolu de F(n;k,ℓ) est atteint sur ces nombres et nous le donnons explicitement pour k=2,…,13 ; généralisant ainsi l' étude faite par Nicolas et Robin pour k=1.

Let dk,ℓ(n) be the function number of divisors of the integer n⩾1, in arithmetic progressions {ℓ+mk}, with 1⩽ℓ⩽k and ℓ,k coprime, and let F(n;k,ℓ) defined as follows:

F(n;k,ℓ)= ln d k,ℓ (n) ln (ϕ(k) ln n) ln 2 ln n.
In this Note, we study and give the structure of dk,ℓ-superior, highly composite numbers, which generalize those defined by S. Ramanujan. We prove that F(n;k,ℓ) reaches its maximum among these numbers. We give it explicitly for k=2,…,13. This generalizes the study of Nicolas and Robin, in which the case k=1 is treated.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.04.021
Derbal, Abdallah 1 ; Smati, Abdelhakim 2

1 Département de mathématiques, École normale supérieure, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie
2 Laco, UMR-CNRS 6090, université de Limoges, 123, avenue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex, France 
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Derbal, Abdallah; Smati, Abdelhakim. Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 2, pp. 87-90. doi : 10.1016/j.crma.2004.04.021. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.04.021/

[1] Nicolas, J.-L. On highly composite numbers (Andrews, G.E. et al., eds.), Ramanujan Revisited, Proceedings of the Centenary Conference, University of Illinois, 1987, pp. 215-244

[2] Nicolas, J.-L.; Robin, G. Majorations explicites pour le nombre des diviseurs de n, Bull. Can. Math., Volume 26 (1983) no. 4, pp. 485-492

[3] Ramanujan, S.; Ramanujan, S., Proc. London Math. Soc. Ser. 2 (Collected Papers), Volume 14, Chelsea, 1915, pp. 347-409

[4] Ramaré, O.; Rumely, R. Primes in arithmetic progressions, Math. Comp., Volume 65 (1996) no. 213, pp. 397-425

Cité par Sources :