Le but est d'étudier le comportement asymptotique de la U-statistique multivariée pour des processus non stationnaires, d'une fonctionnelle régulière où est la fonction de répartition (f.r.) d'une observation. On étudie pour commencer le comportement asymptotique des processus de vecteurs aléatoires indépendants, non stationnaires. Puis on examine le cas des processus de vecteurs aléatoires non stationnaires, dépendants avec un coefficient de mélange (taux d'absolue régularité β(m) (m⩾1)). On établit la convergence en loi, sous des hypothèses d'intégrabilité uniforme d'ordre q (>2) des fonctions à noyaux symétriques pour des observations indépendantes non stationnaires, et sous l'hypothèse importante : la convergence des fonctions de répartition non stationnaires pour une certaine norme.
The object is to study the asymptotic behavior of the multivariate U-statistic for nonstationary independent processes of a regular functional where is the distribution function of an observation. First, the asymptotic behavior of nonstationary independent processes is studied. Then the use of nonstationary dependent processes with a coefficient of mixing (absolute regularity rate β(m) (m⩾1)) is addressed. The convergence in law is established, under assumptions of uniform integrability of order q (>2) of the kernel symmetric functions for nonstationary independent observations and under the important assumption: the convergence of the nonstationary distributions functions for some norm.
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Harel, Michel; Elharfaoui, Echarif. La convergence faible des U-statistiques multivariées pour des processus non stationnaires. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 12, pp. 801-804. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.034. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.034/
[1] Limiting behavior of U-statistics, V-statistics and one-sample rank order statistics for nonstationary absolutely regular processes, J. Multivariate Anal., Volume 30 (1989), pp. 181-204
[2] A class of statistics with asymptotically normal distribution, Ann. Math. Statist., Volume 14 (1948) no. 3
[3] Limiting behavior of U-statistics for stationary, absolutely regular processes, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie Verw. Gebiete, Volume 35 (1976), pp. 237-252
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