Dans les années 80, Crandall et Lions ont introduit le concept de solution de viscosité dans le but d'obtenir des résultats d'existence et/ou d'unicité de solutions d'équations d'Hamilton–Jacobi. Dans cette Note nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour des équations d'Hamilton–Jacobi issues de problèmes de calcul des variations, et affirmons que pour des données analytiques la solution de viscosité est globalement sous-analytique. Nous étendons ce résultat à des équations eikonales généralisées issues de problèmes de géométrie sous-Riemannienne.
In the 1980 Crandall and Lions introduced the concept of viscosity solution in order to get existence and/or unicity results for Hamilton–Jacobi equations. In this Note we focus on the Dirichlet problem for Hamilton–Jacobi equations stemming from calculus of variations, and assert that if the data are analytic then the viscosity solution is moreover subanalytic. We extend this result to generalized eikonal equations, stemming from sub-Riemannian geometry problems.
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Trélat, Emmanuel. Solutions sous-analytiques globales de certaines équations d'Hamilton–Jacobi. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 10, pp. 653-656. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.028. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.028/
[1] On subanalyticity of Carnot–Carathéodory distances, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 18 (2001) no. 3
[2] Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman Equations, Birkhäuser, Boston, 1997
[3] Solutions de Viscosité des Équations de Hamilton–Jacobi, Math. Appl., 17, Springer-Verlag, 1994
[4] Tangent Space in Sub-Riemannian Geometry, Sub-Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1996
[5] Propriétés génériques des trajectoires singulières, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 337 (2003) no. 1
[6] Y. Chitour, F. Jean, E. Trélat, Genericity Properties for Singular Trajectories, Preprint, Univ. Paris Sud, 2003
[7] Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 277 (1983), pp. 1-42
[8] Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998
[9] A. Fathi, Weak KAM theorem in Lagrangian dynamics, en préparation
[10] Stratification of real analytic mappings and images, Invent. Math., Volume 28 (1975)
[11] Subanalytic Sets, Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, in honor of Y. Akizuki, Tokyo, 1973
[12] Generalized Solutions of Hamilton–Jacobi Equations, Pitman, 1982
[13] E. Trélat, Global subanalytic solutions of Hamilton–Jacobi type equations, Preprint, Univ. Paris-Sud, Orsay, 2003
[14] E. Trélat, Étude asymptotique et transcendance de la fonction valeur en contrôle optimal ; catégorie log-exp en géométrie sous-Riemannienne dans le cas Martinet, Thèse, Univ. de Bourgogne, 2000
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