On the Cauchy problem for the generalized Benjamin–Ono equation with small initial data

Molinet, Luc; Ribaud, Francis

doi:10.1016/j.crma.2003.09.012

Partial Differential Equations

On the Cauchy problem for the generalized Benjamin–Ono equation with small initial data
[Sur le problème de Cauchy pour l'équation de Benjamin–Ono généralisée avec données initiales petites]

Présenté par : Yves Meyer

Molinet, Luc ¹ ; Ribaud, Francis ²

¹ L.A.G.A., Institut Galilée, Université Paris-Nord, 93430 Villetaneuse, France
² Université de Marne-La-Vallée, équipe d'analyse et de mathématiques appliquées, 5, bd. Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-La-Vallée cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 8, pp. 523-526.

Résumé
Abstract

Nous montrons que l'équation de Benjamin–Ono généralisée $\partial_{t} u + ℋ \partial_{x}^{2} u + \partial_{x} (u^{k + 1}) = 0, k ⩾ 4$ , est globalement bien posée dans $H^{s} (ℝ), s > s_{k}$ , et dans ${\dot{ℬ}}_{2}^{s_{k}, 1} (ℝ), s_{k} = 1 / 2 - 1 / k$ , pour les données petites. Nous considérons également les cas k=2,3.

We prove global well-posedness results for small initial data in $H^{s} (ℝ), s > s_{k}$ , and in ${\dot{ℬ}}_{2}^{s_{k}, 1} (ℝ)$ , s_k=1/2−1/k, for the generalized Benjamin–Ono equation $\partial_{t} u + ℋ \partial_{x}^{2} u + \partial_{x} (u^{k + 1}) = 0, k ⩾ 4$ . We also consider the cases k=2,3.

Reçu le : 2003-06-04
Accepté le : 2003-09-15
Publié le : 2003-10-15

DOI : 10.1016/j.crma.2003.09.012

Affiliations des auteurs :

Molinet, Luc ¹ ; Ribaud, Francis ²

@article{CRMATH_2003__337_8_523_0,
     author = {Molinet, Luc and Ribaud, Francis},
     title = {On the {Cauchy} problem for the generalized {Benjamin{\textendash}Ono} equation with small initial data},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {523--526},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {337},
     number = {8},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/j.crma.2003.09.012},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.012/}
}

TY  - JOUR
AU  - Molinet, Luc
AU  - Ribaud, Francis
TI  - On the Cauchy problem for the generalized Benjamin–Ono equation with small initial data
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 523
EP  - 526
VL  - 337
IS  - 8
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.012/
DO  - 10.1016/j.crma.2003.09.012
LA  - en
ID  - CRMATH_2003__337_8_523_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Molinet, Luc
%A Ribaud, Francis
%T On the Cauchy problem for the generalized Benjamin–Ono equation with small initial data
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 523-526
%V 337
%N 8
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.012/
%R 10.1016/j.crma.2003.09.012
%G en
%F CRMATH_2003__337_8_523_0

Molinet, Luc; Ribaud, Francis. On the Cauchy problem for the generalized Benjamin–Ono equation with small initial data. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 8, pp. 523-526. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.012/

Bibliographie
Cité par

[1] Biagioni, H.A.; Linares, F. Ill-posedness for the derivative Schrödinger and generalized Benjamin–Ono equations, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 353 (2001), pp. 3649-3659

[2] Kenig, C.E.; Ponce, G.; Vega, L. On the generalized Benjamin–Ono equations, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 342 (1994), pp. 155-172

[3] L. Molinet, F. Ribaud, On the generalized Benjamin–Ono equation with small initial data, Preprint

[4] L. Molinet, F. Ribaud, On the Cauchy problem for the generalized Korteweg–de Vries equation, Comm. Partial Differential Equations, in press

[5] Planchon, F. Self-similar solutions and semi-linear wave equations in Besov spaces, J. Math. Pures Appl., Volume 79 (2000), pp. 809-820

Cité par Sources :