Nous considérons un cristal, constitué d'un substrat élastique et d'un film de faible épaisseur. Le cristal étant sous contrainte, sa surface devient instable et des rugosités peuvent apparaı̂tre. Pour étudier ces instabilités, nous utilisons le modèle développé dans Phys. Rev. B 47 (1993) 9760–9777. La carte f de la surface libre du film vérifie alors une équation aux dérivées partielles parabolique, qui fait intervenir le vecteur déplacement de la structure. Pour simplifier, nous supposons que la structure est linéairement élastique et infinie dans une direction. Alors, sous des hypothèses asymptotiques formelles, et avec des changements d'échelle appropriés, nous obtenons un développement formel du vecteur déplacement, ce qui nous permet de simplifier l'équation parabolique satisfaite par f comme dans Lods et al. (Asymptotic Anal. 33 (2003) 67–91). Nous présentons ici des résultats d'existence locale, d'unicité et d'explosion en temps fini de la solution du problème d'évolution de la surface du film. Nous effectuons également des validations numériques en utilisant une méthode pseudo-spectrale, bien adaptée au cas envisagé, et déterminons numériquement la valeur critique du paramètre θ (dépendant de la condition initiale) intervenant dans l'équation (2).
In this Note, we are interested in the evolution of a surface of a crystal structure, constituted by an elastic substrate and a thin film. If the crystal is constrained, some morphological instabilities may appear. To study these instabilities, we made use of the model developped in Phys. Rev. B 47 (1993) 9760–9777. There, the map f of the free surface of the film satisfies a parabolic partial differential equation, depending on the elastic displacement of the substrate. For simplicity, the substrate is assumed to be linearly elastic and the structure to be infinite in one direction. Then, under some formal asymptotic assumptions, a formal expansion of the displacement can be determined after some appropriate scalings, allowing to derive a simplified parabolic nonlinear equation as in Lods et al. (Asymptotic Anal. 33 (2003) 67–91). We give here some results about the finite-time blow-up and the existence and uniqueness of the solution in an appropriate space. To validate the theoretical results, we also performed some numerical simulations using a pseudo-spectral method and also compute the initial-profile dependent critical value of the parameter θ involved in the nonlinear equation.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2003__337_8_549_0,
author = {Boutat, Mohammed and D'Angelo, Yves and Hilout, Sa{\"\i}d and Lods, V\'eronique},
title = {Explosion en temps fini de la solution d'un probl\`eme d'\'evolution de surface de film mince},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {549--552},
publisher = {Elsevier},
volume = {337},
number = {8},
year = {2003},
doi = {10.1016/j.crma.2003.09.005},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.005/}
}
TY - JOUR AU - Boutat, Mohammed AU - D'Angelo, Yves AU - Hilout, Saïd AU - Lods, Véronique TI - Explosion en temps fini de la solution d'un problème d'évolution de surface de film mince JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2003 SP - 549 EP - 552 VL - 337 IS - 8 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.005/ DO - 10.1016/j.crma.2003.09.005 LA - fr ID - CRMATH_2003__337_8_549_0 ER -
%0 Journal Article %A Boutat, Mohammed %A D'Angelo, Yves %A Hilout, Saïd %A Lods, Véronique %T Explosion en temps fini de la solution d'un problème d'évolution de surface de film mince %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2003 %P 549-552 %V 337 %N 8 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.005/ %R 10.1016/j.crma.2003.09.005 %G fr %F CRMATH_2003__337_8_549_0
Boutat, Mohammed; D'Angelo, Yves; Hilout, Saïd; Lods, Véronique. Explosion en temps fini de la solution d'un problème d'évolution de surface de film mince. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 8, pp. 549-552. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.005. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.005/
[1] M. Boutat, Y. D'Angelo, S. Hilout, V. Lods, Existence and finite-time blow-up for a thin-film surface evolution problem, en préparation
[2] Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Masson, Paris, 1983
[3] On model evolution equation for the whole surface of 3D expanding wrinkled premixed flames, Combustion Theory & Modelling, Volume 4 (2000), pp. 317-338
[4] Mathematical study of the equation describing the evolution of the surface of a film, Asymptotic Anal., Volume 33 (2003) no. 1, pp. 67-91
[5] Morphological instability in epitaxially-strained dislocation-free solid films: nonlinear evolution, Phys. Rev. B, Volume 47 (1993), pp. 9760-9777
[6] Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York, 1988
[7] Application of the pole-decomposition method to an equation describing the dynamics of wrinkled flame fronts, J. Phys., Volume 46 (1985), pp. 1485-1494
Cité par Sources :
