Soit (Zn) un processus de branchement critique dans un environnement aléatoire indépendant et identiquement distribué (i.i.d.). Soit Cn=Eω[Zn∣Zn>0] l'espérance conditionnelle de Zn sachant Zn>0, pour un environnement ω fixé. Nous montrons l'analogue de la loi de Yaglom : lorsque n→∞, la loi conditionnelle de Zn/Cn, sachant Zn>0, converge vers une loi non-dégénérée sur [0,∞[. Nous établissons aussi l'analogue de la loi de Kolmogorov, ainsi qu'un théorème de limite locale pour le semi-groupe des fonctions génératrices de probabilités.
Let (Zn) be a critical branching process in an independent and identically distributed (i.i.d.) random environment. For each fixed environment ω, let Cn=Eω[Zn∣Zn>0] be the conditional expectation of Zn given Zn>0. We prove an analogue of Yaglom's law: as n→∞, the conditional law of Zn/Cn, conditional on Zn>0, converges to a non-degenerate law on [0,∞). We give also an analogue of Kolmogorov's law, as well as a local limit theorem for the semi-group of probability generating functions.
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Guivarc'h, Yves; Le Page, Emile; Liu, Quansheng. Normalisation d'un processus de branchement critique dans un environnement aléatoire. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 9, pp. 603-608. doi : 10.1016/j.crma.2003.08.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.08.011/
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