Sur la convergence uniforme presque complète dans l'estimation de la densité spectrale d'un processus à temps continu après échantillonnage du temps

Rachdi, Mustapha

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 7, pp. 487-492.

Soit $\mathrm{X}={\left\{\mathrm{X}\left(\mathrm{t}\right)\right\}}_{\mathrm{t}\in ℝ}$ un processus à temps continu, strictement stationnaire et fortement mélangeant. Dans cette Note, nous prouvons, d'abord sous des conditions fortes sur la densité spectrale φ_X (à cause du phénomème de repliement des ondes : aliasing), la convergence uniforme presque complète de l'estimateur à noyau de la densité spectrale à partir d'un échantillonnage périodique. Ensuite, pour pallier le problème d'aliasing, nous considérons le processus échantillonné ${\left\{\mathrm{X}\left({\mathrm{t}}_n\right)\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{Z}}$, où {t_n} est un processus ponctuel stationnaire indépendant de X. La convergence uniforme presque complète de l'estimateur de la densité spectrale basé sur les observations discrètes {X(t_k),t_k} est obtenue. Les vitesses de convergence sont également établies.

Let $\mathrm{X}={\left\{\mathrm{X}\left(\mathrm{t}\right)\right\}}_{\mathrm{t}\in ℝ}$ be a continuous-time strictly stationary and strongly mixing process. In this paper, we prove in the setting of spectral density estimation, at first, under some hard conditions on the spectral density φ_X (because of aliasing phenomenon), the uniformly complete convergence of the spectral density estimate from periodic sampling. Afterwards, to overcome aliasing, we consider the sampled process ${\left\{\mathrm{X}\left({\mathrm{t}}_n\right)\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathbb{Z}}$, where {t_n} is a stationary point process independent from X. The uniform complete convergence of the spectral estimate based on the discrete time observations {X(t_k),t_k} is also obtained. The convergence rates are also established.

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