Polyhomogénéité des métriques compatibles avec une structure de Lie à l'infini le long du flot de Ricci
Ammar, Mahdi1
1 Département de Mathématiques, Université du Québec à Montréal, 201 Avenue du Président-Kennedy, Montréal, QC H2X 3Y7
Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, novembre – décembre 2021, Tome 38 (2021) no. 6, pp. 1795-1840.
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Le long du flot de Ricci, on étudie la polyhomogénéité des métriques pour des variétés riemanniennes non-compactes ayant « une structure de Lie fibrée à l'infini », c'est-à-dire une classe de structures de Lie à l'infini qui induit dans un sens précis des structures de fibrés sur les bords d'une certaine compactification par une variété à coins. Lorsque cette compactification est une variété à bord, cette classe de métriques contient notamment les b-métriques de Melrose, les métriques à bord fibré de Mazzeo-Melrose et les métriques edge de Mazzeo. On montre alors que la polyhomogénéité à l'infini des métriques compatibles avec une structure de Lie fibrée à l'infini est préservée localement par le flot de Ricci-DeTurck. Si la métrique initiale est asymptotiquement Einstein, on obtient la polyhomogénéité des métriques tant que le flot existe. De plus, si la métrique initiale est « lisse jusqu'au bord », alors il en sera de même pour les solutions du flot de Ricci normalisé et du flot de Ricci-DeTurck.

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DOI : 10.1016/j.anihpc.2021.01.003
Mots-clés : Géométrie Différentielle, Analyse de EDPs, Flot de Ricci, Variétés à coins
Ammar, Mahdi 1

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Ammar, Mahdi. Polyhomogénéité des métriques compatibles avec une structure de Lie à l'infini le long du flot de Ricci. Annales de l'I.H.P. Analyse non linéaire, novembre – décembre 2021, Tome 38 (2021) no. 6, pp. 1795-1840. doi : 10.1016/j.anihpc.2021.01.003. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.anihpc.2021.01.003/

[1] Albin, P.; Aldana, C.L.; Rochon, F. Ricci flow and the determinant of the Laplacian on non-compact surfaces, Commun. Partial Differ. Equ., Volume 38 (2013), pp. 711-749

[2] Albin, P.; Leichtnam, E.; Mazzeo, R.; Piazza, P. The signature package on Witt spaces, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 45 (2012) no. 2, pp. 241-310

[3] Albin, P.; Melrose, R.B. Resolution of smooth group actions, Spectral Theory and Geometric Analysis, Contemp. Math., vol. 535, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 1-26

[4] Ammann, B.; Lauter, R.; Nistor, V. On the geometry of Riemannian manifolds with a Lie structure at infinity, Int. J. Math. (2004), pp. 161-193

[5] Bahuaud, E. Ricci flow of conformally compact metrics, Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire, Volume 28 (2011) no. 6, pp. 813-835

[6] Chau, A. Convergence of the Kähler-Ricci flow on noncompact Kähler manifolds, J. Differ. Geom., Volume 66 (2004), pp. 211-232

[7] Chen, B.; Zhu, X. Uniqueness of the Ricci flow on complete noncompact manifolds, J. Differ. Geom., Volume 74 (2006) no. 1, pp. 119-154 MR 2260930 (2007i :53071)

[8] Cheng, S.Y.; Yau, S.T. On the existence of a complete Kähler metric on non-compact complex manifolds and the regularity of Fefferman's equation, Commun. Pure Appl. Math., Volume 33 (1980), pp. 507-544

[9] Chow, B.; Knopf, D. The Ricci Flow : An Introduction, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 110, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004 MR 2061425 (2005e :53101)

[10] Chruściel, P.T.; Delay, E.; Lee, J.M.; Skinner, D.N. Boundary regularity of conformally compact Einstein metrics, J. Differ. Geom., Volume 69 (2005), pp. 111-136

[11] Conlon, R.; Degeratu, A.; Rochon, F. Quasi-asymptotically conical Calabi–Yau manifolds, Geom. Topol., Volume 23 (2019), pp. 29-100

[12] Conlon, R.J.; Mazzeo, R.; Rochon, F. The moduli space of asymptotically cylindrical Calabi-Yau manifolds, Commun. Math. Phys., Volume 338 (2015) no. 3, pp. 953-1009

[13] Crainic, M.; Fernandes, R.L. Integrability of Lie brackets, Ann. Math., Volume 157 (2003), pp. 575-620

[14] Debord, C.; Lescure, J.-M.; Rochon, F. Pseudodifferential operators on manifolds with fibred corners, Ann. Inst. Fourier, Volume 65 (2015) no. 3, pp. 1799-1880

[15] DeTurck, D. Deforming metrics in the direction of their Ricci tensors, J. Differ. Geom., Volume 18 (1983) no. 1, pp. 157-162 MR 697987 (85j :53050)

[16] Epstein, C.L.; Mendoza, G.A.; Melrose, R.B. Resolvent of the Laplacian on strictly pseudoconvex domains, Acta Math., Volume 167 (1991), pp. 1-106

[17] Gibbons, G.W.; Pope, C.N. The positive action conjecture and asymptotically Euclidean metrics in quantum gravity, Commun. Math. Phys., Volume 66 (1979), pp. 267-290

[18] Grieser, D. (Contemp. Math.), Volume vol. 700, Amer. Math. Soc. (2017), p. 207

[19] Hamilton, R. Three manifolds of positive Ricci curvature, J. Differ. Geom., Volume 17 (1982), pp. 255-306

[20] Isenberg, J.; Mazzeo, R.; Sesum, N. Ricci flow on asymptotically conical surfaces with nontrivial topology, J. Reine Angew. Math., Volume 676 (2013), pp. 227-248 (MR 3028760)

[21] Joyce, D. Asymptotically locally Euclidean metrics with holonomy SU(m) , Ann. Glob. Anal. Geom., Volume 19 (2001) no. 1, pp. 55-73 (MR 1824171)

[22] Karoubi, M. K-Theory. An Introduction, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 226, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1978

[23] Krantz, S.G.; Parks, H.R. The Implicit Function Theorem, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 2002 (History, theory, and applications)

[24] Ladyženskaja, O.A.; Solonnikov, V.A.; Ural'ceva, N.N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, Translations of Mathematical Monographs, vol. 23, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1968 translated from the Russian by S. Smith MR 0241822 (39 #3159b)

[25] Lauter, R.; Moroianu, S. Fredholm theory for degenerate pseudodifferential operators on manifolds with fibered boundaries, Commun. Partial Differ. Equ., Volume 26 (2001), pp. 233-283

[26] Lee, J.M. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Springer, New York, 2013 (MR 2954043)

[27] Lee, J.M. Riemannian Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 176, Springer-Verlag, New York, 1997 (An introduction to curvature)

[28] Lott, J.; Zhang, Z. Ricci flow on quasiprojective manifolds, Duke Math. J., Volume 156 (2011) no. 1, pp. 87-123

[29] Lott, J.; Zhang, Z. Ricci flow on quasiprojective manifolds II, J. Eur. Math. Soc., Volume 18 (2016), pp. 1813-1854

[30] Mackenzie, K. Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 124, Cambridge University Press, Cambridge, 1987

[31] Mazzeo, R. Elliptic theory of differential edge operators. I, Commun. Partial Differ. Equ., Volume 16 (1991) no. 10, pp. 1615-1664

[32] Mazzeo, R.; Melrose, R.B. Pseudodifferential operators on manifolds with fibred boundaries, Asian J. Math., Volume 2 (1999) no. 4, pp. 833-866

[33] Mazzeo, R.; Melrose, R.B. Meromorphic extension of the resolvent on complete spaces with asymptotically constant negative curvature, J. Funct. Anal., Volume 75 (1987) no. 2, pp. 260-310

[34] Melrose, R.B. Differential analysis on manifolds with corners http://www-math.mit.edu/~rbm/book.html (available at)

[35] Melrose, R.B. Geometric Scattering Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1995

[36] Melrose, R.B. The Atiyah-Patodi-Singer Index Theorem, A. K. Peters, Wellesley, Massachusetts, 1993

[37] Morgan, J.; Tian, G. Ricci Flow and the Poincaré Conjecture, Clay Mathematics Monographs, vol. 3, American Math. Society, Providence, 2007 (521 pages)

[38] Rochon, F. Polyhomogénéité des métriques asymptotiquement hyperboliques complexes le long du flot de Ricci, J. Geom. Anal., Volume 25 (2015), pp. 2103-2132

[39] Rochon, F. Pseudodifferential operators on manifolds with foliated boundaries, J. Funct. Anal., Volume 262 (2012) no. 3, pp. 1309-1362

[40] Rochon, F.; Zhang, Z. Asymptotics of complete Kähler metrics of finite volume on quasiprojective manifolds, Adv. Math., Volume 235 (2012), pp. 2892-2952

[41] Shi, W. Deforming the metric on complete Riemannian manifolds, J. Differ. Geom., Volume 30 (1989) no. 1, pp. 223-301

[42] Simmons, G. Differential Equations with Applications and Historical Notes, Textbooks in Mathematics, CRC Press, 2016

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