Comportement asymptotique d'un estimateur de la densité adaptatif par méthode d'ondelettes

Aubin, Jean-Baptiste; Massiani, Anne

doi:10.1016/S1631-073X(03)00310-8

Statistique/Probabilités

Comportement asymptotique d'un estimateur de la densité adaptatif par méthode d'ondelettes

Présenté par : Paul Deheuvels

Aubin, Jean-Baptiste ¹ ; Massiani, Anne ¹

¹ Université Paris 6, LSTA, boîte 158, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 4, pp. 293-296.

Résumé
Abstract

Nous étudions une version tronquée de l'estimateur de la densité par méthode d'ondelettes qui consiste à introduire un niveau d'analyse multirésolution adaptatif ${\hat{j}}_{n}$ . Nous décrivons d'abord le comportement asymptotique de ${\hat{j}}_{n}$ . Nous montrons alors que l'estimateur basé sur ${\hat{j}}_{n}$ atteint une vitesse suroptimale au sens de l'erreur quadratique intégrée sur un sous-ensemble dense de $L_{2} (ℝ)$ . De plus, cet estimateur atteint une vitesse quasi-optimale si la densité inconnue f appartient à l'espace de Sobolev W^p₂, où p⩾1, et a un support compact.

We present a data-driven version of the wavelet density estimator, where the traditional multiresolution analysis level j_n is replaced by an adaptative multiresolution analysis level ${\hat{j}}_{n}$ . First, we describe the limiting behavior of ${\hat{j}}_{n}$ . Next, we show that the estimator based on ${\hat{j}}_{n}$ reaches a superoptimal rate for the mean square error on a dense subset of $L_{2} (ℝ)$ . We finally state that this estimator reaches quasioptimal rate of convergence when the unknown density f belongs to a Sobolev class W₂^p, where p⩾1, and has compact support.

Reçu le : 2003-03-25
Accepté le : 2003-06-17
Publié le : 2003-08-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00310-8

Affiliations des auteurs :

Aubin, Jean-Baptiste ¹ ; Massiani, Anne ¹

¹ Université Paris 6, LSTA, boîte 158, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

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Aubin, Jean-Baptiste; Massiani, Anne. Comportement asymptotique d'un estimateur de la densité adaptatif par méthode d'ondelettes. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 4, pp. 293-296. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00310-8. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00310-8/

Bibliographie
Cité par

[1] Bosq, D. Estimation localement suroptimale et adaptative de la densité, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 334 (2002), pp. 591-595

[2] Bretagnolle, J.; Huber, C. Estimation des densités : risque minimax, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie Verw. Gebiete, Volume 47 (1979), pp. 119-137

[3] Donoho, D.; Johnstone, I. Minimax risk over l_p-balls for L_p-error, Probab. Theory Related Fields, Volume 99 (1994), pp. 277-303

[4] Doukhan, P.; Leon, J. Déviation quadratique d'estimateurs d'une densité par projection orthogonale, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 310 (1990), pp. 425-430

[5] Hall, P.; Kerkyacharian, G.; Picard, D. Block threshold rules for curve estimation using kernel and wavelet methods, Ann. Statist., Volume 26 (1998), pp. 922-942

[6] Härdle, W.; Kerkyacharian, G.; Picard, D.; Tsybakov, A. Wavelets, Approximation, and Statistical Applications, Springer-Verlag, New York, 1998

[7] Massiani, A. Étude asymptotique locale de l'estimateur par méthode d'ondelettes, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 335 (2002), pp. 553-556

Cité par Sources :