Mathematical Physics
An LP estimate for Maxwell's equations with source term
[Estimation Lp pour les équations de Maxwell ayant un terme source]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Bao, Gang1 ; Minut, Aurelia2 ; Zhou, Zhengfang1
1 Dept. of Mathematics, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA
2 IMA, University of Minnesota, Minneapolis, MN 55455, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 5, pp. 365-370.

Dans cette Note, on établit une estimation de type Lp intérieure pour les solutions des équations de Maxwell avec un terme source, dans un domaine occupé par deux matériaux séparés par une interface C2. En raison de la singularité générée par la discontinuité de la permittivité, les estimations elliptiques usuelles ne sont plus valables. Une décomposition rot–div du champ électrique est utilisée pour réduire le problème à une équation elliptique sous forme de divergence à coefficients discontinus. La théorie du potentiel et la condition de saut permettent d'obtenir des estimations Lp meilleures que les estimations directes de Nash–Moser. Nous espérons que cette procédure de réduction peut être utile pour la simulation numérique. Une telle estimation est très importante pour la résolution des équations de Maxwell non-linéaires, que l'on rencontre dans la modélisation de l'optique nonlinéaire.

In this Note we establish an interior Lp-type estimate for the solutions of Maxwell's equations with source term in a domain filled with two different materials separated by a 𝒞 2 interface. Due to the singularity of the dielectric permittivity, the usual elliptic estimates cannot be applied directly. A special curl–div decomposition is introduced for the electric field to reduce the problem to an elliptic equation in divergence form with discontinuous coefficients. The potential theory analysis and the jump condition lead to the Lp estimates which are superior to the straightforward Nash–Moser estimates. The reduction procedure is expected to be useful for numerical simulation. Such an estimate is crucial for solving nonlinear Maxwell's equations that arise for example in the modeling of nonlinear optics.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00301-7
Bao, Gang 1 ; Minut, Aurelia 2 ; Zhou, Zhengfang 1

1 Dept. of Mathematics, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA
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