A model of fracture for elliptic problems with flux and solution jumps

Angot, Philippe

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 6, pp. 425-430.

Pour des problèmes elliptiques, un nouveau modèle de fracture combinant des sauts de la solution et du flux comme conditions aux limites immergées est proposé et on montre qu'il est bien posé. On propose également une application de ce modèle à l'écoulement dans des milieux poreux fissurés incluant les cas de « fracture imperméable » et de « fracture totalement perméable » satisfaisant la « loi cubique », ainsi que des cas intermédiaires. Un schéma en volumes finis est construit pour résoudre de tels problèmes sur des maillages polygonaux généraux. Comme aucune inconnue n'est nécessaire sur l'interface de fracture, ce schéma est aussi économique que des schémas standards pour résoudre les mêmes problèmes sans faille. On peut prouver la convergence de ce schéma vers la solution faible du problème. De plus, avec des hypothèses faibles de régularité, on établit pour la norme discrète H¹₀ et pour la norme L² des estimations d'erreur en $𝒪\left(\mathrm{h}\right)$, où h désigne le pas du maillage, i.e. le diamètre maximum des volumes finis du maillage.

A new model of fracture for elliptic problems combining flux and solution jumps as immersed boundary conditions is proposed and proved to be well-posed. An application of this model to the flow in fractured porous media is also proposed including the cases of “impermeable fracture” and “fully permeable fracture” satisfying the so-called “cubic law”, as well as intermediate cases. A finite volume scheme on general polygonal meshes is built to solve such problems. Since no unknown is required at the fracture interface, the scheme is as cheap as standard schemes for the same problems without fault. The convergence of the scheme can be proved to the weak solution of the problem. With weak regularity assumptions, we also establish for the discrete H¹₀ and L² norms some error estimates in $𝒪\left(\mathrm{h}\right)$, where h is the maximum diameter of the control volumes of the mesh.

[1] Ph. Angot, Mathematical and numerical modelling for a fictitious domain method with jump and penalized immersed boundary conditions, Preprint, Thèse HDR, Univ. Méditerranée Aix-Marseille II, sept. 1998

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[4] Ph. Angot, A model of fracture for elliptic problems with flux and solution jumps, Preprint L.A.T.P., UMR CNRS 6632 http://www.cmi.univ-mrs.fr, May 2003

[5] Ph. Angot, Th. Gallouët, R. Herbin, in preparation

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[10] Jaffré, J.; Martin, V.; Roberts, J.E. Generalized cell-centered finite volume methods for flow in porous media with faults (Herbin, R.; Kröner, D., eds.), Finite Volumes for Complex Applications III, Hermes Penton Sci. (HPS), 2002, pp. 357-364