Version continue de l'algorithme d'Uzawa

Maury, Bertrand

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 1, pp. 31-36.

Nous avons proposé dans Carlier et al. (ESAIM Proceedings, CEMRACS 1999) un algorithme permettant d'approximer la projection d'une fonction $\mathrm{f}\in {\mathrm{H}}_0^1\left(\Omega \right)$ (où $\Omega$ est un domaine convexe) sur le cône des fonctions convexes. Cet algorithme est basé sur une expression duale de la contrainte de convexité, qui conduit à un problème de point-selle qui n'a pas de solution en général. Nous montrons ici que l'algorithme d'Uzawa appliqué à cette situation peut être vu comme une discrétisation semi-implicite d'une équation d'évolution du type

$$\frac{\mathrm{d}\lambda }{\mathrm{d}t}+\partial \Psi \left(\lambda \right)\ni 0,$$

où Ψ est une fonction convexe, propre, et s.c.i. Dans le cas où le problème de point-selle n'admet pas de solution, on a

$$0\in \overline{R\left(\partial \Psi \right)}\mathrm{mais}\partial {\Psi }^{-1}\left(0\right)=\varnothing .$$

Nous établissons que λ(t) diverge alors, mais qu'une sous-suite de la composante primale de la trajectoire converge faiblement vers la solution du problème de projection initial.

In Carlier et al. (ESAIM Proceedings, CEMRACS 1999), an algorithm was proposed to approximate the projection of a function $\mathrm{f}\in {\mathrm{H}}_0^1\left(\Omega \right)$ (where $\Omega$ is a convex domain) onto the cone of convex functions. This algorithm is based on a dual expression of the constraint, which leads to a saddle-point problem which has no solution in general. We show here that the Uzawa algorithm for this saddle-point problem can be seen as the semi-discretization of an evolution equation

$$\frac{\mathrm{d}\lambda }{\mathrm{d}t}+\partial \Psi \left(\lambda \right)\ni 0,$$

where Ψ is a convex, l.s.c., proper function. In case the saddle-point problem has no solution, one has $0\in \overline{\mathrm{R}\left(\partial \Psi \right)}$ but ∂Ψ⁻¹(0)=∅. We establish that λ(t) is then divergent, and that a subsequence of the associated trajectory in the primal space converges weakly to the solution of the initial projection problem.

[1] Brezis, H. Opérateurs maximaux monotones et semi–groupes de contraction dans les espaces de Hilbert, North-Holland, 1973

[2] Bruck, R.E. Jr. Asymptotic convergence of nonlinear contraction semigroups in Hilbert space, J. Funct. Anal., Volume 18 (1975), pp. 15-26

[3] G. Carlier, T. Lachand-Robert, B. Maury, H¹-projection into the set of convex functions: a saddle-point formulation, in: ESAIM Proceedings, CEMRACS 1999

[4] P.G. Ciarlet, Introduction à l'Analyse Numérique Matricielle et à l'Optimisation, Masson, Paris

[5] Haraux, A. Nonlinear Evolution Equations – Global Behaviour of Solutions, Lecture Notes in Math., Springer, 1981

[6] Moreau, J.J. Décomposition orthogonale d'un espace Hilbertien selon deux cônes mutuellement polaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I, Volume 255 (1962), pp. 238-240

[7] Rochet, J.-C.; Choné, P. Ironing, sweeping and multidimensional screening, Econometrica, Volume 66 (1998), pp. 783-826