Nous énonçons des résultats de généricité des trajectoires singulières en géométrie sous-riemannienne : génériquement (au sens de la topologie de Whitney) toute trajectoire singulière est d'ordre minimal et de corang 1, et en particulier n'est pas de Goh si le rang de la distribution est supérieur ou égal à 3. Nous étendons ces résultats aux systèmes affines en le contrôle.
We give genericity results for singular trajectories in sub-Riemannian geometry: generically (in the sense of the Whitney topology), every singular trajectory is of minimal order and of corank 1 and in particular is not of Goh type if the rank of the distribution is greater or equal to 3. We extend these results to control-affine systems.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2003__337_1_49_0,
author = {Chitour, Yacine and Jean, Fr\'ed\'eric and Tr\'elat, Emmanuel},
title = {Propri\'et\'es g\'en\'eriques des trajectoires singuli\`eres},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {49--52},
publisher = {Elsevier},
volume = {337},
number = {1},
year = {2003},
doi = {10.1016/S1631-073X(03)00252-8},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00252-8/}
}
TY - JOUR AU - Chitour, Yacine AU - Jean, Frédéric AU - Trélat, Emmanuel TI - Propriétés génériques des trajectoires singulières JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2003 SP - 49 EP - 52 VL - 337 IS - 1 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00252-8/ DO - 10.1016/S1631-073X(03)00252-8 LA - fr ID - CRMATH_2003__337_1_49_0 ER -
%0 Journal Article %A Chitour, Yacine %A Jean, Frédéric %A Trélat, Emmanuel %T Propriétés génériques des trajectoires singulières %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2003 %P 49-52 %V 337 %N 1 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00252-8/ %R 10.1016/S1631-073X(03)00252-8 %G fr %F CRMATH_2003__337_1_49_0
Chitour, Yacine; Jean, Frédéric; Trélat, Emmanuel. Propriétés génériques des trajectoires singulières. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 1, pp. 49-52. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00252-8. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00252-8/
[1] Compactness for SR minimizers and subanalyticity, Rend. Sem. Mat. Torino, Volume 56 (1998)
[2] On subanalyticity of Carnot–Carathéodory distances, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 18 (2001) no. 3
[3] Abnormal sub-Riemannian geodesics: Morse index and rigidity, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 13 (1996)
[4] Tangent Space in Sub-Riemannian Geometry, Sub-Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1996
[5] B. Bonnard, H. Heutte, La propriété de stricte anormalité est générique, Preprint Univ. Bourgogne 77, 1995
[6] Generic properties of singular trajectories, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 14 (1997) no. 2
[7] Rigidity of integral curves of rank 2 distributions, Invent. Math., Volume 114 (1993)
[8] Stratification of real analytic mappings and images, Invent. Math., Volume 28 (1975)
[9] H. Heutte, Propriétés génériques des extrémales singulières dans le cas multi-entrées, Preprint Univ. Bourgogne 67, 1995
[10] Subanalytic sets, Number Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, in honor of Y. Akizuki, Tokyo, 1973
[11] Shortest paths for sub-Riemannian metrics of rank two distributions, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 564 (1995), p. 118
[12] A survey of singular curves in sub-Riemannian geometry, J. Dyn. Cont. Syst., Volume 1 (1995) no. 1
[13] et al. Théorie mathématique des processus optimaux, Mir, Moscou, 1974
[14] Some properties of the value function and its level sets for affine control systems with quadratic cost, J. Dyn. Cont. Syst., Volume 6 (2000) no. 4
[15] E. Trélat, Étude asymptotique et transcendance de la fonction valeur en contrôle optimal ; catégorie log-exp en géométrie sous-riemannienne dans le cas Martinet, Thèse, Univ. de Bourgogne, 2000
Cité par Sources :
