On connait depuis longtemps l'existence de star-produits différentiels sur les variétés symplectiques. En particulier on sait, depuis le tout début de la théorie des star-produits, que les variétés de dimension 2, comme la sphère, admettent des star-produits. Cependant, on peut dire qu'on ne sait pas, même dans un cas aussi simple, construire des star-produits explicites.
Dans cette Note, on remarque que si P→M est un fibré principal de groupe structurel G admettant une connexion plate ∇ et si P est muni d'une formalité G-invariante , on peut définir naturellement une formalité quotient sur M. Ceci nous permet de construire des formalités canoniques sur des exemples, dont les sphères, en partant de la formalité explicite de M. Kontsevich sur . On définit ainsi un star-produit « canonique » sur la sphère S2.
In this Note, we consider a principal fibre bundle P→M with structural group G, endowed with a flat connection. Supposing there is a G invariant formality on P, we can define a quotient formality on the basis M of our fibre bundle. We give a few examples, especially for the spheres Sd. If d=2, this defines a canonical differential star-product on the sphere S2. The construction of such a star-product was a classical and very old question in deformation theory.
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[1] Deformation theory and quantization I, II, Ann. Phys., Volume 111 (1978), pp. 61-110 (111–151)
[2] Quantization on the sphere, J. Math. Phys., Volume 22 (1981) no. 7, pp. 1345-1349
[3] Quantization of Kähler manifolds. I. Geometric interpretation of Berezin's quantization, J. Geom. Phys., Volume 7 (1990) no. 1, pp. 45-62
[4] Kontsevich star-product on the dual of a Lie algebra, Lett. Math. Phys., Volume 48 (1999) no. 4, pp. 307-322
[5] Some ideas about quantization, Rep. Math. Phys., Volume 15 (1979) no. 1, pp. 111-145
[6] M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds I, Preprint, 1997. | arXiv
[7] Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley, New York, 1963
[8] Construction of twisted products for cotangent bundles of classical groups and Stieffel manifolds, Lett. Math. Phys., Volume 2 (1977), pp. 133-143
[9] ★-products on some Kähler manifolds, Lett. Math. Phys., Volume 11 (1986) no. 4, pp. 361-372
[10] Sur les déformations de l'algèbre des fonctions d'une variété symplectique, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 292 (1981) no. 1, pp. 71-73
[11] Déformation du crochet de Poisson sur une variété symplectique, Comm. Math. Helv., Volume 50 (1975), pp. 421-454
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