Loi de type Chung en norme de Hölder pour les accroissements locaux du mouvement Brownien

Lucas, Alain; Thilly, Emmanuel

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 12, pp. 1029-1032.

Dans cette Note, nous établissons une loi limite presque sûre de type de Acosta (1985) pour une famille de normes Höldériennes. Plus précisément, nous obtenons, pour α∈(0,1/2), la vitesse de convergence, lorsque h↓0, de la quantité

$$T_{\alpha ,\mathrm{f}}\left(\mathrm{h}\right):=\underset{0⩽\mathrm{t}⩽1-\mathrm{h}}{\inf }{\parallel {\left(2\mathrm{h}\log (1/\mathrm{h})\right)}^{-1/2}(\mathrm{W}(\mathrm{t}+\mathrm{h}·)-\mathrm{W}\left(\mathrm{t}\right))-\mathrm{f}\parallel }_{\alpha }$$

lorsque $\mathrm{f}\in 𝒮$ vérifie ${\int }_0^1{\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\right\}}^2\mathrm{d}\mathrm{u}<1$, où $𝒮$ désigne l'ensemble de Strassen (1964).

In this Note, we establish a de Acosta (1985) type strong law for a family of Hölder norms. More precisely, we obtain, for α∈(0,1/2), the exact rate of convergence, as h↓0, of

$$T_{\alpha ,\mathrm{f}}\left(\mathrm{h}\right):=\underset{0⩽\mathrm{t}⩽1-\mathrm{h}}{\inf }{\parallel {\left(2\mathrm{h}\log (1/\mathrm{h})\right)}^{-1/2}(\mathrm{W}(\mathrm{t}+\mathrm{h}·)-\mathrm{W}\left(\mathrm{t}\right))-\mathrm{f}\parallel }_{\alpha }$$

when $\mathrm{f}\in 𝒮$ satisfies ${\int }_0^1{\left\{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\right\}}^2\mathrm{d}\mathrm{u}<1$, where $𝒮$ denotes the Strassen (1964) set.

[1] de Acosta, A. On the functional form of Lévy's modulus of continuity for Brownian motion, Z.W.G., Volume 69 (1985), pp. 567-579

[2] Baldi, P.; Ben Arous, G.; Kerkyacharian, G. Large deviations and the Strassen theorem in Hölder norm, Stochastic Process. Appl., Volume 42 (1992), pp. 171-180

[3] Baldi, P.; Roynette, B. Some exact equivalents for the Brownian motion in Hölder norm, Probab. Theory Related Fields, Volume 93 (1992), pp. 457-484

[4] P. Berthet, Vitesses de recouvrement dans les lois fonctionnelles du logarithme itéré pour les increments du processus empirique uniforme avec applications statistiques, Thèse de l'Université Paris 6, 1996

[5] Berthet, P. Functional law and clustering rates for sets of Wiener process in Hölder topology, Limit Theorems in Probability and Statistics, Balatonlelle, 1999, Janos Bolyai Mathematical Society, Budapest, 2002, pp. 159-179

[6] Csörgő, M.; Révész, P. How small are the increments of a Wiener process?, Stochastic Process. Appl., Volume 8 (1979), pp. 119-129

[7] Gorn, N.; Lifshits, M. Chung's law and Csáki function, J. Theoret. Probab., Volume 12 (1999), pp. 399-420

[8] Kuelbs, J.; Li, W. Small ball estimates for Brownian motion and the Brownian sheet, J. Theoret. Probab., Volume 6 (1993), pp. 547-577

[9] Lévy, P. Processus Stochastique et Mouvement Brownien, Gauthier-Villars, 1948

[10] Lucas, A. Fractale aléatoires de type Chung pour les accroissements du processus de Wiener, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 326 (1998), pp. 1123-1126

[11] Strassen, V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm, Z.W.G., Volume 3 (1964), pp. 211-226

[12] Wei, Q. Functional modulus of continuity for Brownian motion in Hölder norm, Chinese Ann. Math. Ser. B, Volume 22 (2001), pp. 223-232