BMO is the intersection of two translates of dyadic BMO

Mei, Tao

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 12, pp. 1003-1006.

Soit $𝕋$ le cercle unité dans ${ℝ}^2.$ On note BMO$\left(𝕋\right)$ l'espace BMO classique et l'on note BMO${}_{𝒟}\left(𝕋\right)$ l'espace BMO dyadique usuel sur $𝕋.$ Pour certaines valeurs de $\delta \in ℝ$, nous montrons que l'espace BMO$\left(𝕋\right)$ coı̈ncide avec l'intersection de BMO${}_{𝒟}\left(𝕋\right)$ et du translaté par δ de BMO${}_{𝒟}\left(𝕋\right)$, en d'autres termes que l'on a

$${\parallel \varphi \parallel }_{\mathrm{BMO}\left(𝕋\right)}\backsimeq {\parallel \varphi \parallel }_{{\mathrm{BMO}}_{𝒟}\left(𝕋\right)}+{\parallel \varphi (·-2\delta \pi )\parallel }_{{\mathrm{BMO}}_{𝒟}\left(𝕋\right)},\forall \varphi \in \mathrm{BMO}\left(𝕋\right).$$

Let $𝕋$ be the unit circle on ${ℝ}^2$. Denote by BMO$\left(𝕋\right)$ the classical BMO space and denote by BMO${}_{𝒟}\left(𝕋\right)$ the usual dyadic BMO space on $𝕋$. Then, for suitably chosen $\delta \in ℝ,$ we have

$${\parallel \varphi \parallel }_{\mathrm{BMO}\left(𝕋\right)}\backsimeq {\parallel \varphi \parallel }_{{\mathrm{BMO}}_{𝒟}\left(𝕋\right)}+{\parallel \varphi (·-2\delta \pi )\parallel }_{{\mathrm{BMO}}_{𝒟}\left(𝕋\right)},\forall \varphi \in \mathrm{BMO}\left(𝕋\right).$$

[1] Garnett, J.B.; Jones, P.W. BMO from dyadic BMO, Pacific J. Math., Volume 99 (1982) no. 2, pp. 351-371

[2] Garnett, J.B. Bounded Analytic Functions, Pure Appl. Math., 96, Academic Press, New York, 1981

[3] T. Mei, Operator valued Hardy spaces, Preprint

[4] Petermichl, S. Dyadic shifts and a logarithmic estimate for Hankel operator with matrix symbol, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 330 (2000), pp. 455-460