Des équations de Dirac et de Schrödinger pour la transformation de Fourier

Burnol, Jean-François

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 11, pp. 919-924.

Dyson a associé aux déterminants de Fredholm des noyaux de Dirichlet pairs (resp. impairs) une équation de Schrödinger sur un demi-axe et a employé les méthodes du scattering inverse de Gel'fand–Levitan et de Marchenko, en tandem, pour étudier l'asymptotique de ces déterminants. Nous avons proposé suite à notre mise-au-jour de l'opérateur conducteur de chercher à réaliser la transformation de Fourier elle-même comme un scattering, et nous obtenons ici dans ce but deux systèmes de Dirac sur l'axe réel tout entier et qui sont associés intrinsèquement, respectivement, aux transformations en cosinus et en sinus.

Dyson has associated with the Fredholm determinants of the even (resp. odd) Dirichlet kernels a Schrödinger equation on the half-axis and has used, in tandem, the Gel'fand–Levitan and Marchenko methods of inverse scattering theory to study the asymptotics of these determinants. We have proposed following our unearthing of the conductor operator to seek to realize the Fourier transform itself as a scattering, and we obtain here to this end two Dirac systems on the entire real axis which are intrinsically associated, respectively, to the cosine and to the sine transforms.

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