Hoeffding decompositions for exchangeable sequences and chaotic representation of functionals of Dirichlet processes

Peccati, Giovanni

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 10, pp. 845-850.

On considère une suite échangeable $\mathrm{X}=\{{\mathrm{X}}_n:1⩽\mathrm{n}<\mathrm{N}\}$, $\mathrm{N}\in \mathbb{N}\cup \left\{\infty \right\}$, et on note ${𝐗}_n=(X_1,...,X_n)$. On dit que $\mathrm{X}$ est décomposable au sens d'Hoeffding si, pour chaque n, chaque fonctionnelle centrée, symétrique et de carré intégrable de ${\mathrm{X}}_n$ est la somme de n U-statistiques avec noyaux symétriques et dégénerés. On établit une condition nécessaire et suffisante pour la décomposabilité au sens d'Hoeffding, appelée indépendance faible. On montre qu'une classe de suites faiblement indépendantes est celle des suites d'urne généralisées, qui contient comme cas particulier les processus d'urne dits de Pólya. On remarque que ce résultat entraîne une décomposition de l'espace des fonctionnelles de carré intégrable d'un processus de Dirichlet–Ferguson, en sous-espaces orthogonaux d'intégrales multiples. On montre aussi des formules explicites.

Consider an exchangeable sequence $\mathrm{X}=\{{\mathrm{X}}_n:1⩽\mathrm{n}<\mathrm{N}\}$, where $\mathrm{N}\in \mathbb{N}\cup \left\{\infty \right\}$, and note ${𝐗}_n=(X_1,...,X_n)$. We say that $\mathrm{X}$ is Hoeffding decomposable if, for each n, every square integrable, centered and symmetric functional of ${\mathrm{X}}_n$ is the orthogonal sum of n U-statistics with degenerated and symmetric kernels. We state a necessary and sufficient condition for an exchangeable sequence to be Hoeffding decomposable, named weak independence. We show that a class of weakly independent sequences is given by generalized urn sequences and, specifically, by generalized Pólya urns. We point out that this yields an orthogonal decomposition of the space of square integrable functionals of Dirichlet–Ferguson processes into orthogonal subspaces of multiple integrals. Explicit formulae are provided.

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