[Nombres de Betti virtuels des variétés algébriques réelles]
On montre que pour tout entier positif i le i-ième nombre de Betti de la cohomologie à coefficients dans des variétés algébriques réelles compactes nonsingulières admet une unique extension en un nombre de Betti virtuel βi, défini pour toute variété algébrique réelle, telle que pour une sous-variété fermée Y⊂X, βi(X)=βi(X⧹Y)+βi(Y). On donne un exemple qui montre qu'il n'existe pas de filtration par le poids naturelle sur la cohomologie à coefficients dans des variétés algébriques réelles telle que les nombres de Betti virtuels soient les caractéristiques d'Euler par le poids associées à cette filtration.
We show that for all i⩾0 the i-th mod 2 Betti number of compact nonsingular real algebraic varieties has a unique extension to a virtual Betti number βi defined for all real algebraic varieties, such that if Y is a closed subvariety of X then βi(X)=βi(X⧹Y)+βi(Y). We show by example that there is no natural weight filtration on the -cohomology of real algebraic varieties with compact supports such that the virtual Betti numbers are the weighted Euler characteristics.
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McCrory, Clint; Parusiński, Adam. Virtual Betti numbers of real algebraic varieties. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 9, pp. 763-768. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00168-7. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00168-7/
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