Properties of a single vortex solution in a rotating Bose Einstein condensate

Aftalion, Amandine; Jerrard, Robert L.

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 9, pp. 713-718.

Dans cette Note, nous étudions les propriétés de l'énergie de ligne pour un vortex γ dans un condensat de Bose Einstein en rotation à la vitesse $\Omega$. Nous prouvons que, pour tout $\Omega$, il existe un vortex de type S, qui est un point critique de l'énergie, mais jamais un minimiseur. Le minimiseur global est soit la solution sans vortex soit un vortex en U, qui n'existe que pour $\Omega$ plus grand qu'une valeur critique. Nous prouvons également l'unicité des minimiseurs pour presque tout $\Omega$ et une propriété de monotonie des courbes γ par rapport à $\Omega$. Les preuves reposent sur un problème de type isopérimétrique.

In this Note, we study the properties of the line energy for a vortex γ in a Bose Einstein condensate rotating at velocity $\Omega$. The global minimizer is either the vortex free solution or U vortices which exist only for $\Omega$ bigger than a critical value. For all values of $\Omega$, we prove the existence of an S type vortex, which is a critical point of the line energy, observed in the experiments. We also prove uniqueness of the minimizer for almost every $\Omega$ and a monotonicity property of the curve γ with respect to $\Omega$. The proofs rely on a related isoperimetric problem.

[1] Abo-Shaeer, J.R.; Raman, C.; Vogels, J.M.; Ketterle, W. Observation of vortex lattices in Bose–Einstein condensates, Science, Volume 292 (2001), p. 476

[2] Aftalion, A.; Jerrard, R.L. Shape of vortices for a rotating Bose–Einstein condensate, Phys. Rev. A, Volume 66 (2002), p. 023611

[3] Aftalion, A.; Riviere, T. Vortex energy and vortex bending for a rotating Bose–Einstein condensate, Phys. Rev. A, Volume 64 (2001), p. 043611

[4] Giusti, E. Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhäuser, Boston, 1984

[5] R.L. Jerrard, in preparation

[6] Madison, K.; Chevy, F.; Wohlleben, W.; Dalibard, J. Vortex formation in a stirred Bose–Einstein condensate, Phys. Rev. Lett., Volume 84 (2000), pp. 806-809

[7] Madison, K.W.; Chevy, F.; Wohlleben, W.; Dalibard, J. Vortex lattices in a stirred Bose–Einstein condensate, J. Mod. Opt., Volume 47 (2000), p. 2715

[8] Raman, C.; Abo-Shaeer, J.R.; Vogels, J.M.; Xu, K.; Ketterle, W. Vortex nucleation in a stirred Bose–Einstein condensate, Phys. Rev. Lett., Volume 87 (2001), p. 210402

[9] Rosenbuch, P.; Bretin, V.; Dalibard, J. Dynamics of a single vortex line in a Bose–Einstein condensate, Phys. Rev. Lett., Volume 89 (2002), p. 200403