On démontre que le complémentaire d'une courbe complexe trés générique à deux composantes de degrés d1⩽d2 dans est hyperbolique au sens de Kobayashi pour : d1⩾5 ; d1=4 et d2⩾7 ; d1=d2=4 ; d1=3 et d2⩾9 ; d1=2 et d2⩾12. Pour cela, nous nous servons des jets logarithmiques développés par Dethloff et Lu (Osaka J. Math. 38 (2001) 185–237), qui ont généralisé à la situation logarithmique les fibrés de jets de Demailly (dans : Proc. Sympos. Pure Math., Vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 285–360), et utilisés par El Goul pour obtenir des résultats concernant l'hyperbolicité du complémentaire d'une courbe trés générique dans dans le cas d'une seule composante.
We prove that the complement of a very generic complex curve with two components in of degrees d1⩽d2 is hyperbolic in the sense of Kobayashi in the following cases: d1⩾5; d1=4 and d2⩾7; d1=d2=4; d1=3 and d2⩾9; d1=2 and d2⩾12. We consider logarithmic jets developped by Dethloff and Lu (Osaka J. Math. 38 (2001) 185–237), who generalized to the logarithmic situation Demailly's jet bundles (in: Proc. Sympos. Pure Math., Vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 285–360), and used by El Goul to obtain results about the hyperbolicity of the complement of a very generic curve in in the case of a single component.
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Rousseau, Erwan. Hyperbolicité du complémentaire d'une courbe dans $ \mathbb{P}^{2}$ : le cas de deux composantes. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 8, pp. 635-640. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00136-5. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00136-5/
[1] Algebraic criteria for Kobayashi hyperbolic projective varieties and jet differentials, Proc. Sympos. Pure Math., 62, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997, pp. 285-360
[2] Logarithmic jet bundles and applications, Osaka J. Math., Volume 38 (2001), pp. 185-237
[3] J. El Goul, Logarithmic jets and hyperbolicity, Prépublication, 2000
[4] Topological Methods in Algebraic Geometry, Grundlehren Math. Wiss., 131, Springer, Heidelberg, 1966
[5] Diophantine approximations and foliations, Publ. Math. IHES, Volume 87 (1998), pp. 121-174
[6] Hyperbolic surfaces in , Duke Math. J., Volume 58 (1989), pp. 749-771
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