Estimées C^k pour les couronnes de convexes de type fini de ${ℂ}^n$

Alexandre, William

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 7, pp. 555-558.

Pour q=1,…,n−2, D et D′ domaines relativement compacts de ${ℂ}^n$, convexes, de type fini respectif m et m′ tels que D′ contienne l'adhérence de D, nous montrons l'existence d'un opérateur linéaire ${\tilde{T}}_q^{*}$ de $C_{0,\mathrm{q}}\left(\overline{\mathrm{D}\text{'}⧹\mathrm{D}}\right)$ vers $C_{0,\mathrm{q}-1}\left(\overline{\mathrm{D}\text{'}⧹\mathrm{D}}\right)$ tel que pour toute (0,q)-forme h de régularité C^k jusqu'au bord, $\overline{\partial }$-fermée, ${\tilde{T}}_q^{*}h$ soit de régularité C^{k+1/max(m,m′)} jusqu'au bord et $\overline{\partial }{\tilde{T}}_q^{*}\mathrm{h}=\mathrm{h}$. Pour cela, nous devons adapter aux couronnes la méthode introduite par Diederich, Fischer et Fornaess et notamment échanger le rôle des variables z et ζ. Mais sur le bord, le noyau d'intégration n'a plus le même comportement que dans le cas des domaines convexes et nous serons forcés de modifier la fonction de support de Diederich et Fornaess, notamment en rompant son holomorphie. Aussi, nous veillerons à ce que le terme résiduel ainsi engendré soit très régulier. Il restera alors à résoudre l'équation $\overline{\partial }$ pour ce dernier.

C^k estimates for convex domains of finite type in ${ℂ}^n$ are known from Alexandre (C. R. Acad. Paris, Ser. I 335 (2002) 23–26). We now want to show the same result for annuli. Precisely, we show that for all convex domains D and D′ relatively compact of ${ℂ}^n$, of finite type m and m′ such that $\overline{D}\subset \mathrm{D}\text{'}$, for all q=1,…,n−2, there exists a linear operator ${\tilde{T}}_q^{*}$ from $C_{0,\mathrm{q}}\left(\overline{\mathrm{D}\text{'}⧹\mathrm{D}}\right)$ to $C_{0,\mathrm{q}-1}\left(\overline{\mathrm{D}\text{'}⧹\mathrm{D}}\right)$ such that for all $\mathrm{k}\in \mathbb{N}$ and all (0,q)-form f, $\overline{\partial }$-closed of regularity C^k up to the boundary, ${\tilde{T}}_q^{*}f$ is of regularity C^{k+1/max(m,m′)} up to the boundary and $\overline{\partial }{\tilde{T}}_q^{*}\mathrm{f}=\mathrm{f}$. We fit the method of Diederich, Fisher and Fornaess to the annuli by switching z and ζ. However, the integration kernel will not have the same behavior on the frontier as in the Diederich–Fischer–Fornaess case and we have to alter the Diederich–Fornaess support function which will not be holomorphic anymore. Also, we take care of the so generated residual term in the homotopy formula and show that it is extremely regular so that solve the $\overline{\partial }$ problem for it will not be difficult.

[1] Alexandre, W. Estimées C^k pour les domaines convexes de type fini de ${ℂ}^n$, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 335 (2002), pp. 23-26

[2] Diederich, K.; Fischer, B.; Fornaess, J.E. Hölder estimates on convex domains of finite type, Math. Z., Volume 232 (1999), pp. 43-61

[3] Diederich, K.; Fornaess, J.E. Support functions for convex domains of finite type, Math. Z. (1999), pp. 145-164

[4] Lieb, I.; Range, R.M. Lösungsoperatoren für den Cauchy–Riemann-Komplex mit C^k-Abschätzungen, Math. Ann., Volume 253 (1980), pp. 145-164

[5] McNeal, J.D. Convex domains of finite type, J. Funct. Anal., Volume 108 (1992), pp. 361-373

[6] Michel, J. $\overline{\partial }$-Problem für sückweise streng pseudokonvexe Gebiete in ${ℂ}^n$, Math. Ann., Volume 280 (1988), pp. 46-68