Sur l'homologie du groupe orthogonal à coefficients dans les algèbres de Clifford

Grebet, Jean-Guillaume

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 5, pp. 381-386.

Le but de cette Note est de montrer que la méthode utilisée par Dupont et Sah pour calculer les groupes d'homologie ${\mathrm{H}}_1(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ et ${\mathrm{H}}_2(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ peut être reformulée de manière plus générale en termes de formes différentielles non-commutatives sur les algèbres de Clifford. En appliquant alors ce formalisme à d'autres algèbres de Clifford, on est en mesure d'une part de retrouver les résultats de Cathelineau pour les groupes ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$ et ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$, et d'autre part de calculer les groupes ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$ et ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$, qui sont respectivement isomorphes à ${\Omega }_{ℝ|\mathbb{Q}}^1$ et au groupe nul.

The object of this Note is to show that the method used by Dupont and Sah to compute the homology groups ${\mathrm{H}}_1(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ and ${\mathrm{H}}_2(\mathrm{SO}(3;ℝ),\mathrm{𝔰𝔬}(3;ℝ))$ can be reformulated more generally in terms of non-commutative differential forms over Clifford algebras. Applying then this formalism to other Clifford algebras, we are able on the one hand to retrieve the results of Cathelineau for the groups ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$ and ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℂ\right))$, and on the other hand to compute ${\mathrm{H}}_1({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$ and ${\mathrm{H}}_2({\mathrm{SL}}_2\left(ℝ\right),{\mathrm{𝔰𝔩}}_2\left(ℝ\right))$, which are isomorphic to ${\Omega }_{ℝ|\mathbb{Q}}^1$ and to the null group respectively.

[1] Cathelineau, J.-L. Sur l'homologie de SL₂ à coefficients dans l'action adjointe, Math. Scand., Volume 63 (1988), pp. 51-86

[2] Cathelineau, J.-L. Homology of tangent groups considered as discrete groups and scissors congruences, J. Pure Appl. Algebra, Volume 132 (1998), pp. 9-25

[3] Dupont, J.L. Scissors congruences, group homology and characteristic classes, Nankai Tracts in Math., 1, World Scientific, 2001

[4] Dupont, J.L.; Sah, C.-H. Homology of Euclidean groups of motions made discrete and Euclidean scissors congruences, Acta Math., Volume 164 (1990), pp. 1-27

[5] Elbaz-Vincent, P. Homology of linear groups with coefficients in the adjoint action and K-theory, K-Theory, Volume 16 (1999), pp. 35-50

[6] J.-G. Grebet, Aspects infinitésimaux du troisième problème de Hilbert, Thèse de doctorat, Université de Nice-Sophia Antipolis, 2001

[7] Karoubi, M. K-théorie multiplicative et homologie cyclique, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A–B, Volume 322 (1996), pp. 813-817

[8] Lawson, H.B.; Michelsohn, M.-L. Spin Geometry, Princeton University Press, 1989

[9] Parry, W.; Sah, C.-H. Third homology of $\mathrm{SL}(2,ℝ)$ made discrete, J. Pure Appl. Algebra, Volume 30 (1983), pp. 181-209