Arithmétique d'une famille de corps cubiques

Lahlou, Ouafae; El Hassani Charkani, Mohamed

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 5, pp. 371-376.

Dans cette Note, on étudie la famille de polynômes : P(X)=X³−nX²−n, avec n=3^sp₁…p_t où s=0 ou 1 et où les p_i pour 1⩽i⩽t sont des nombres premiers deux à deux distincts et distincts de 3 et où (4n²+27)/9^s est sans facteurs carrés. Pour cette famille, on détermine les invariants arithmétiques du corps de nombres $\mathrm{K}=\mathbb{Q}\left(\alpha \right),$ avec α l'unique racine réelle du polynôme P(X), et on trouve les résultats suivants : $O_K=\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ est l'anneau des entiers de K, d_K=−n²(4n²+27) est le discriminant de K ; ε=α²+1 est l'unité fondamentale de O_K et R_K=Log(α²+1) est le régulateur de K.

In this Note, we study the family of polynomials: P(X)=X³−nX²−n, with n=3^sp₁…p_t, where s=0 or 1 and where the p_i, for 1⩽i⩽t, are distinct prime numbers and all different from 3, and (4n²+27)/9^s is squarefree. For this family, we determine the arithmetic invariants of the number field $\mathrm{K}=\mathbb{Q}\left(\alpha \right),$ where α is the only real root of the polynomial P(X), and we find the following results: $O_K=\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ is the ring of integers of K, d_K=−n²(4n²+27) is the discriminant of K; ε=α²+1 is the fundamental unit of O_K and R_K=Log(α²+1) is the regulator of K.

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