Dans cette Note, nous généralisons un résultat de Goodman–Plante qui caractérise les valeurs d'adhérence de certaines suites de moyennes transverses à un feuilletage : ce sont toutes des mesures transverses invariantes par holonomie. Nous montrons un résultat analogue pour des moyennes longitudinales pondérées par un cocycle Δ : leurs valeurs d'adhérence sont le produit d'une mesure transverse quasi-invariante pour Δ et de la mesure longitudinale de départ.
In this Note, we generalize a result of Goodman–Plante, who characterizes limit points of averaging sequences as holonomy invariant transverse measures. We prove an analogous result for some leafwise averages, weighted with a cocycle Δ, whose limit points are a product of a quasi-invariant transverse measure with respect to Δ with a leafwise measure.
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Schapira, Barbara. Mesures quasi-invariantes pour un feuilletage et limites de moyennes longitudinales. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 4, pp. 349-352. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00038-4. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00038-4/
[1] Foliations I, Grad. Stud. Math., 23, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000
[2] Sur la théorie non commutative de l'intégration, Algèbres d'Opérateurs, Séminaire, Les Plans-sur-Bex, Suisse, Lecture Notes in Math., 725, Springer-Verlag, Berlin, 1978
[3] Holonomy and averaging in foliated sets, J. Differential Geom., Volume 14 (1979) no. 3, pp. 401-407
[4] Foliations with measure preserving holonomy, Ann. of Math., Volume 102 (1975), pp. 327-361
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