Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass

Cegrell, Urban; Zeriahi, Ahmed

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 4, pp. 305-308.

Soit $\Omega ⋐{ℂ}^n$ un domaine hyperconvexe. On désigne par ${ℰ}_0\left(\Omega \right)$ la classe des fonctions plurisousharmoniques sur $\Omega$ avec valeurs au bord nulle et de masse de Monge–Ampère finie sur $\Omega .$ On désigne par $ℱ\left(\Omega \right)$ la classe des fonctions ϕ plurisousharmoniques négatives sur $\Omega$, limite d'une suite décroissante (ϕ_j) de fonctions de ${ℰ}_0\left(\Omega \right)$ telle que ${\sup }_j{\int }_{\Omega }{\left({\mathrm{dd}}^c{\varphi }_j\right)}^n<+\infty .$ On sait que l'opérateur de Monge–Ampère est bien défini sur $ℱ\left(\Omega \right)$ et que pour une fonction $\varphi \in ℱ\left(\Omega \right),$ la mesure de Monge–Ampère associée est une mesure de Borel sur $\Omega$ de masse totale bornée. Une telle fonction sera dite de masse de Monge–Ampère bornée sur $\Omega .$

On démontre alors que pour tout domaine hyperconvexe $\tilde{\Omega },\Omega ⋐\tilde{\Omega }⋐{ℂ}^n$ et tout $\varphi \in ℱ\left(\Omega \right)$ il existe une fonction $\tilde{\varphi }\in ℱ\left(\tilde{\Omega }\right)$ telle que $\tilde{\varphi }⩽\varphi$ sur $\Omega$ et ${\int }_{\tilde{\Omega }}{\left({\mathrm{dd}}^c\tilde{\varphi }\right)}^n⩽{\int }_{\Omega }{\left({\mathrm{dd}}^c\varphi \right)}^n.$ Une telle fonction $\tilde{\varphi }$ est dite sous-extension de ϕ au domaine $\tilde{\Omega }.$ A partir de ce résultat, nous déduisons un théorème d'intégrabilté uniforme global pour les classes de fonction plurisousharmoniques sur $\Omega ⋐{ℂ}^n$ ayant des masses de Monge–Ampère uniformément bornées sur $\Omega .$

Let $\Omega ⋐{ℂ}^n$ be a hyperconvex domain. Denote by ${ℰ}_0\left(\Omega \right)$ the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on $\Omega$ with boundary values 0 and finite Monge–Ampère mass on $\Omega .$ Then denote by $ℱ\left(\Omega \right)$ the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on $\Omega$ for which there exists a decreasing sequence (ϕ)_j of plurisubharmonic functions in ${ℰ}_0\left(\Omega \right)$ converging to ϕ such that ${\sup }_j{\int }_{\Omega }{\left({\mathrm{dd}}^c{\varphi }_j\right)}^n+\infty .$

It is known that the complex Monge–Ampère operator is well defined on the class $ℱ\left(\Omega \right)$ and that for a function $\varphi \in ℱ\left(\Omega \right)$ the associated positive Borel measure is of bounded mass on $\Omega .$ A function from the class $ℱ\left(\Omega \right)$ is called a plurisubharmonic function with bounded Monge–Ampère mass on $\Omega .$

We prove that if $\Omega$ and $\tilde{\Omega }$ are hyperconvex domains with $\Omega ⋐\tilde{\Omega }⋐{ℂ}^n$ and $\varphi \in ℱ\left(\Omega \right),$ there exists a plurisubharmonic function $\tilde{\varphi }\in ℱ\left(\tilde{\Omega }\right)$ such that $\tilde{\varphi }⩽\varphi$ on $\Omega$ and ${\int }_{\tilde{\Omega }}{\left({\mathrm{dd}}^c\tilde{\varphi }\right)}^n⩽{\int }_{\Omega }{\left({\mathrm{dd}}^c\varphi \right)}^n.$ Such a function is called a subextension of ϕ to $\tilde{\Omega }.$

From this result we deduce a global uniform integrability theorem for the classes of plurisubharmonic functions with uniformly bounded Monge–Ampère masses on $\Omega .$

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