On a generalized X-ray transform and a new method for defect detection using the medium electronic density

Nguyen, Mai K.; Truong, T.Tuong

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 2, pp. 195-200.

On considère une généralisation de la transformation de type rayons X, qui associe à une fonction $\mathrm{f}\left(\mathrm{V}\right)$ définie dans ${ℛ}^3$ ses intégrales sur une paire de lignes droites parallèles, au lieu d'une ligne droite comme dans le cas de la transformation conventionnelle de type rayons X. Elle provient de la formation d'image par le rayonnement doublement diffusé par effet Compton en imagerie par transmission. La reconstruction de $\mathrm{f}\left(\mathrm{V}\right)$ est présentée comme un problème inverse de cette transformation généralisée de type rayons X. Exploitant la dualité entre les lignes droites parallèles dans la nouvelle transformation, on montre de façon équivalente que $\mathrm{f}\left(\mathrm{V}\right)$ vérifie une équation intégrale non-linéaire, pour laquelle des solutions spéciales peuvent être construites. Ces solutions peuvent servir de base à une nouvelle méthode de détection de défauts par le biais de la densité électronique du milieu en contrôle non-destructif.

We consider a generalization of the X-ray transform which maps a function $\mathrm{f}\left(\mathrm{V}\right)$ defined in ${ℛ}^3$ onto its integrals over a pair of parallel straight lines and not over a single straight line as in a conventional X-ray transform. This new transformation arises from the image formation by double Compton-scattered radiation in transmission imaging. The problem of reconstructing $\mathrm{f}\left(\mathrm{V}\right)$ from its line pair integrals is formulated as an inverse problem for this generalized X-ray transform. Exploiting the line duality in the new transformation, we derive an equivalent nonlinear integral equation for $\mathrm{f}\left(\mathrm{V}\right)$. Special classes of solutions can be constructed. They may serve as basis for a new method of defect detection, using the medium electronic density, in non-destructive inspection.

[1] Bui, H.D.; Maigre, H. Facteur d'intensité dynamique des contraintes tiré des grandeurs mécaniques globales, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. II (1988), pp. 1213-1216

[2] Nguyen, M.K.; Faye, C.; Eglin, L.; Truong, T.T. Apparent image formation by Compton scattered photons in gamma-ray imaging, IEEE Signal Processing Lett., Volume 8 (2001) no. 9, pp. 248-251

[3] Nguyen, M.K.; Truong, T.T. On an integral transform and its inverse in nuclear imaging, Inverse Problems, Volume 18 (2002) no. 1, pp. 265-277

[4] Nguyen, M.K.; Truong, T.T. Exact inversion of a compound conical Radon transform and a novel nuclear imaging principle, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I, Volume 335 (2002), pp. 213-217

[5] Norton, S.J. Compton scattering tomography, J. Appl. Phys., Volume 76 (1994) no. 4, pp. 2007-2015

[6] Truong, T.T.; Nguyen, M.K.; Bui, H.D.; Daveau, C. Determination of the electronic density in a medium by an inverse method based on double-Compton scattering in transmission imaging, Proceedings of the 4th International Conference on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice, Rio de Janeiro, May, 2002