Nous étudions un système semi-classique de deux équations d'évolutions dont l'hamiltonien est donné par une matrice hermitienne présentant un croisement de modes de codimension 3. Pour un croisement non-dégénéré – dans un sens que nous définissons – nous montrons que deux situations géométriques sont possibles. Pour l'une d'entre elle, nous quantifions le transfert d'énergie au-dessus du croisement en établissant des formules de Landau–Zener pour des mesures semi-classiques à deux échelles. Ce résultat repose sur un théorème de réduction qui ramène à un système du type de celui étudié par Landau et Zener.
In this Note, we study a 2×2 system of evolution equations with some codimension 3 crossing. We derive two conditions of non-degeneracy. We focus on one of them and reduce our system to some Landau–Zener's type system. Using this reduction, we describe the energy transfer at the crossing by Landau–Zener formula for 2-scales semi-classical measures.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2002__335_11_915_0,
author = {Fermanian Kammerer, Clotilde and G\'erard, Patrick},
title = {Une formule de {Landau{\textendash}Zener} pour un croisement non d\'eg\'en\'er\'e et involutif de codimension 3},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {915--920},
publisher = {Elsevier},
volume = {335},
number = {11},
year = {2002},
doi = {10.1016/S1631-073X(02)02601-8},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02601-8/}
}
TY - JOUR AU - Fermanian Kammerer, Clotilde AU - Gérard, Patrick TI - Une formule de Landau–Zener pour un croisement non dégénéré et involutif de codimension 3 JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2002 SP - 915 EP - 920 VL - 335 IS - 11 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02601-8/ DO - 10.1016/S1631-073X(02)02601-8 LA - fr ID - CRMATH_2002__335_11_915_0 ER -
%0 Journal Article %A Fermanian Kammerer, Clotilde %A Gérard, Patrick %T Une formule de Landau–Zener pour un croisement non dégénéré et involutif de codimension 3 %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2002 %P 915-920 %V 335 %N 11 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02601-8/ %R 10.1016/S1631-073X(02)02601-8 %G fr %F CRMATH_2002__335_11_915_0
Fermanian Kammerer, Clotilde; Gérard, Patrick. Une formule de Landau–Zener pour un croisement non dégénéré et involutif de codimension 3. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 11, pp. 915-920. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02601-8. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02601-8/
[1] Y. Colin de Verdière, The level crossing problem in semi-classical analysis I. The symmetric case, in: Proceedings of Frédéric Pham's Congress, 2002, to appear
[2] The microlocal Landau–Zener formula, Ann. Inst. Henri Poincaré, Volume 71 (1999) no. 1, pp. 95-127
[3] C. Fermanian Kammerer, A noncommutative Landau–Zener formula, Prépublication de l'Université Cergy-Pontoise, No. 1, 2002
[4] Mesures semi-classiques et croisements de modes, Bull. Soc. Math. France, Volume 130 (2002) no. 1, pp. 145-190
[5] C. Fermanian Kammerer, P. Gérard, Une formule de Landau–Zener pour un croisement générique de codimension 2, X-EDP, 2002
[6] Molecular propagation through electron energy level crossings, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 111 (1994) no. 536
[7] Landau–Zener transitions through small electronic eigenvalue gaps in the Born–Oppenheimer approximation, Ann. Inst. H. Poincaré, Volume 68 (1998) no. 1, pp. 85-134
[8] Proof of the Landau–Zener formula, Asymptotic Anal., Volume 9 (1994), pp. 209-258
[9] Collected Papers of L. Landau, Pergamon Press, 1965
[10] L. Miller, Propagation d'onde semi-classiques à travers une interface et mesures 2-microlocales, Thèse de l'École Polytechnique, 1996
[11] Non-adiabatic crossing of energy levels, Proc. Roy. Soc. London, Volume 137 (1932), pp. 696-702
Cité par Sources :
