Nondegeneracy of the Lie algebra 𝔞𝔣𝔣(n)
[Non-dégénérescence de l'algèbre de Lie 𝔞𝔣𝔣(n)]
Dufour, Jean-Paul1 ; Zung, Nguyen Tien2
1 GTA, UMR 5030 CNRS, Département de mathématiques, Université Montpellier II, 34095 Montpellier cedex 5, France
2 Laboratoire Emile Picard, UMR 5580 CNRS, UFR MIG, Université Toulouse III, 31062 Toulouse cedex 4, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 12, pp. 1043-1046.

Nous montrons que toute structure de Poisson analytique (resp., formelle), qui s'annule en un point et dont la partie linéaire correspond à l'algèbre 𝔞𝔣𝔣(n) des transformations affines sur ℝn, est localement analytiquement (resp., formellement) linéarisable.

We show that 𝔞𝔣𝔣(n), the Lie algebra of affine transformations of ℝn, is formally and analytically nondegenerate in the sense of A. Weinstein. This means that every analytic (resp., formal) Poisson structure vanishing at a point with a linear part corresponding to 𝔞𝔣𝔣(n) is locally analytically (resp., formally) linearizable.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02599-2
Dufour, Jean-Paul 1 ; Zung, Nguyen Tien 2

1 GTA, UMR 5030 CNRS, Département de mathématiques, Université Montpellier II, 34095 Montpellier cedex 5, France
2 Laboratoire Emile Picard, UMR 5580 CNRS, UFR MIG, Université Toulouse III, 31062 Toulouse cedex 4, France 
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Dufour, Jean-Paul; Zung, Nguyen Tien. Nondegeneracy of the Lie algebra $ \mathfrak{aff}\mathrm{(n)}$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 12, pp. 1043-1046. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02599-2. https://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02599-2/

[1] Arnold, V.I. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1988

[2] Conn, J.F. Normal forms for analytic Poisson structures, Ann. of Math. (2), Volume 119 (1984) no. 3, pp. 577-601

[3] Conn, J.F. Normal forms for smooth Poisson structures, Ann. of Math. (2), Volume 121 (1985) no. 3, pp. 565-593

[4] Dufour, J.-P. Linéarisation de certaines structures de Poisson, J. Differential Geom., Volume 32 (1990) no. 2, pp. 415-428

[5] Dufour, J.-P.; Molinier, J.-Ch. Une nouvelle famille d'algèbres de Lie non dégénérées, Indag. Math. (N.S.), Volume 6 (1995) no. 1, pp. 67-82

[6] J.-C. Molinier, Linéarisation de structures de Poisson, Thèse, Montpellier, 1993

[7] Monnier, P.; Zung, N.T. Levi decomposition of smooth Poisson structures, Preprint, 2002 | arXiv

[8] Wade, A. Normalisation formelle de structures de Poisson, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 324 (1997) no. 5, pp. 531-536

[9] Weinstein, A. The local structure of Poisson manifolds, J. Differential Geom., Volume 18 (1983) no. 3, pp. 523-557

[10] Zung, N.T. Levi decomposition of analytic Poisson structures and Lie algebroids, Preprint, 2002 | arXiv

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