Graph-theoretical methods in general function theory
[Théorie des graphes dans la théorie generale des fonctions]
El Sahili, Amine1, 2
1 Lebanese university I, El hadas, Beyrout, Lebanon
2 El sahili Amine, BP 93, Tyr-Lebanon, Lebanon
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 11, pp. 859-861.

On considère deux applications f et g d'un ensemble E dans un ensemble F telles que f(x)≠g(x) pour tout x dans E. Quel est le cardinal maximal d'un sous-ensemble A de E tel que les images des restrictions de f et g à A soient disjointes ? Dans le cas où E est infini, la réponse est card(E), comme l'ont montré Mekler, Pelletier et Taylor ; dans le cas fini, nous avons prouvé que le cardinal en question est plus grand ou égale à card(E)/4. Dans cet article, en utilisant les outils de la théorie des graphes, nous retrouvons ces resultats comme application directe d'un lemme d'Erdös. Nous démontrons de plus que si E=F=ℝ, alors il existe une partition dénombrable {En}n⩾1 de ℝ telle que f(En)∩g(En)=φ, pour tout n⩾1.

Consider two maps f and g from a set E into a set F such that f(x)≠g(x) for every x in E. What is the maximal cardinal of a subset A of E such that the images of the restriction of f and g to A are disjoint? Mekler, Pelletier and Taylor have shown that it is card(E) when the set E is infinite; in the finite case, we have proved that it is greater than or equal to card(E)/4. In this paper, using graph theoretical technics, we find these results as a direct application of a lemma of Erdös. Moreover, we show that if E=F=ℝ, then there exists a countable partition {En}n⩾1 of ℝ such that f(En)∩g(En)=φ, for every n⩾1.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02585-2
El Sahili, Amine 1, 2

1 Lebanese university I, El hadas, Beyrout, Lebanon
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[1] El Sahili, A. Functions with disjoint graphs, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 319 (1994), pp. 519-521

[2] Erdös, P. On some extremal problems in graph theory, Israel J. Math. (1965), pp. 113-116

[3] Erdös, P.; Hajnal, A. On chromatic number of infinite graphs, Theory of Graphs (Proc. Colloq., Tihany, 1966), Academic Press, 1968, pp. 83-98

[4] Mekler, A.H.; Pelletier, D.H.; Taylor, A.D. A separation theorem, Abstracts Amer. Math. Soc. (1982), p. 593

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